paradoxe de Monty Hall
Le paradoxe de Monty Hall est un problème de probabilité conditionnelle dont l'énoncé est simple mais dont la solution contredit l'intuition de la plupart des gens. Il tire son nom de Monty Hall, animateur d'origine canadienne qui a présenté pendant treize ans le jeu télévisé américain Let's Make a Deal. L'énoncé est le suivant : un candidat se trouve face à trois portes fermées. Derrière l'une d'elles se trouve un gain majeur (typiquement une voiture), derrière chacune des deux autres un lot sans valeur (typiquement une chèvre). Le candidat choisit une porte sans l'ouvrir. Le présentateur, qui connaît la position du gain, ouvre alors l'une des deux autres portes, révélant nécessairement un lot sans valeur. Il propose ensuite au candidat de maintenir son choix initial ou de changer pour la porte restante. La question est : quelle stratégie maximise la probabilité de gagner ? Contre l'intuition qui suggère que les deux portes restantes sont équiprobables (1/2 chacune), le calcul par arbre de probabilité ou par probabilités conditionnelles démontre que maintenir son choix initial donne une probabilité de succès de 1/3, tandis que changer de porte porte cette probabilité à 2/3. La stratégie optimale est donc de toujours changer de porte.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier pourquoi les deux portes restantes ne forment pas un nouveau tirage équiprobable.
- Vérifier les probabilités 1/3 et 2/3 en énumérant les trois positions du gain.
- Reconnaître les règles du présentateur nécessaires avant d’appliquer la stratégie de changement.
En clair
Vous choisissez une porte parmi trois, puis le présentateur ouvre une autre porte et montre une chèvre. Faut-il garder votre porte ou prendre la dernière fermée ? Votre premier choix n’avait qu’une chance sur trois de cacher la voiture. Les deux autres portes portaient ensemble deux chances sur trois. Le présentateur élimine volontairement une chèvre : changer gagne chaque fois que la voiture appartenait à ce groupe de deux portes. Cela arrive deux fois sur trois.
Définition
Le paradoxe de Monty Hall est un problème de probabilité conditionnelle à trois portes. Une seule cache le gain. Après le choix initial du candidat, un présentateur informé ouvre une autre porte qui cache nécessairement un lot sans valeur, puis offre le changement vers la dernière porte fermée.
Avant toute ouverture, la porte choisie a une probabilité de gain de 1/3 et l’ensemble des deux autres, de 2/3. L’information fournie par le présentateur ne rend pas les deux portes restantes symétriques : il ne pouvait ouvrir ni la porte choisie ni celle du gain. La stratégie « garder » gagne exactement lorsque le premier choix était juste, avec une probabilité de 1/3. La stratégie « changer » gagne exactement lorsque le premier choix était faux, avec une probabilité de 2/3.
Ce résultat suppose le protocole classique : les trois positions du gain sont équiprobables, le présentateur connaît sa position, montre toujours un lot sans valeur et propose toujours de changer. Si son comportement dépend d’une autre règle, les probabilités après l’ouverture doivent être recalculées.
Le principe
Si le gain est placé au hasard derrière l’une des trois portes et si le présentateur informé ouvre toujours une autre porte perdante avant de proposer l’échange, alors il faut changer. Garder gagne lorsque le choix initial est correct, soit dans 1 cas sur 3. Changer gagne lorsque ce choix est incorrect, soit dans 2 cas sur 3. Ainsi, , contre 1/3 en gardant.
Quand l'utiliser
La règle des 2/3 s’applique au protocole classique. Premièrement, le gain a la même probabilité initiale d’être derrière chacune des trois portes. Deuxièmement, le présentateur connaît sa position et n’ouvre jamais la porte choisie ni celle du gain. Troisièmement, il ouvre toujours une porte perdante et propose toujours l’échange. Son choix entre deux portes perdantes peut suivre n’importe quelle règle : cela ne change pas le succès global de la stratégie qui consiste à toujours changer.
Contre-cas : si une personne ouvre au hasard l’une des deux autres portes et montre parfois le gain, observer une chèvre ne relève plus du même protocole. Il faut alors connaître cette nouvelle règle d’ouverture et calculer une probabilité conditionnelle adaptée ; annoncer automatiquement 2/3 serait injustifié.
Un exemple, pas à pas
Données. Les portes sont numérotées 1, 2 et 3. La voiture a une chance sur trois d’être derrière chacune. Le candidat choisit la porte 1. Le présentateur connaît la bonne porte, ouvre toujours une autre porte avec une chèvre, puis propose la dernière porte fermée.
1. Si la voiture est derrière la porte 1, le présentateur peut ouvrir la porte 2 ou 3. Changer fait perdre.
2. Si la voiture est derrière la porte 2, le présentateur doit ouvrir la porte 3. Changer vers la porte 2 fait gagner.
3. Si la voiture est derrière la porte 3, le présentateur doit ouvrir la porte 2. Changer vers la porte 3 fait gagner.
Résultat. Les trois positions initiales étant équiprobables, changer gagne dans deux cas sur trois : . Garder ne gagne que dans le cas où la voiture était dès le départ derrière la porte 1 : .
Contrôle. Énumérez les trois positions possibles de la voiture : une seule fait gagner en gardant, tandis que les deux positions hors de la porte 1 font gagner en changeant. La figure récapitule ce décompte sans confondre l’ouverture du présentateur avec un nouveau tirage.
En pratique
Dans le jeu décrit, le geste optimal est de choisir une porte, puis d’accepter systématiquement l’échange proposé. La préférence entre garder et changer dépend toutefois des probabilités initiales et de la règle d’ouverture : dans le cas simple où l’échange récupère le complément du choix initial, garder n’est préférable que si la probabilité initiale de la porte choisie dépasse celle du complément, donc si elle dépasse 1/2.
Pour vérifier le résultat, on peut répéter de nombreuses parties en notant séparément les gains obtenus en gardant et en changeant. La simulation illustre les fréquences proches de 1/3 et 2/3 ; l’énumération des trois cas explique pourquoi elles apparaissent.
Face à une variante, le bon réflexe est d’écrire la règle du présentateur avant de calculer. Si elle n’assure ni une ouverture perdante ni une proposition systématique, il faut abandonner la réponse automatique « changer » et reconstruire les cas possibles.
À ne pas confondre
Probabilité conditionnelle et indépendance. Deux événements indépendants ne s’informent pas mutuellement. Ici, la porte ouverte dépend de la position du gain, puisque le présentateur la connaît et évite la voiture. Observer son choix apporte donc une information conditionnelle ; ce n’est pas un retrait au hasard sans information.
Stratégie optimale et gain certain. Une stratégie optimale maximise la probabilité de gagner sans garantir le résultat de chaque partie. Changer est optimal avec 2/3 de succès, mais perd encore lorsque le choix initial, de probabilité 1/3, était le bon.
Limites et pièges
Deux portes fermées ne signifient pas 1/2–1/2. Le symptôme est un partage automatique des probabilités après l’ouverture. Pour comparer les stratégies sans supposer une règle particulière lorsque le présentateur peut choisir, il faut revenir au premier choix : garder gagne s’il était juste, changer gagne s’il était faux.
Ouverture non informée. Si l’ouvreur ignore où se trouve la voiture et choisit une porte au hasard, il peut la révéler. Après l’observation d’une chèvre, il faut conditionner sur cette procédure précise ; le calcul classique ne s’applique plus tel quel.
Proposition sélective. Si le présentateur ne propose l’échange que dans certains cas, le fait même de recevoir l’offre devient une information. Il faut connaître sa politique complète avant d’attribuer 1/3 et 2/3 aux stratégies.
Gain non équiprobable. Si la voiture n’a pas initialement une chance sur trois derrière chaque porte, la probabilité de succès dépend du choix de départ et de la règle d’ouverture. Il faut repartir des probabilités initiales réelles, pas du décompte équiprobable.
Pour aller plus loin
Le paradoxe de Monty Hall. Approfondir le problème dans un article consacré à son intuition probabiliste.
Arbre de probabilité. Organiser les choix, les ouvertures possibles et leurs probabilités sans omettre une branche.
formule de Bayes. Relier une observation à la révision des probabilités lorsque le protocole d’information est connu.
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