produit scalaire

Imaginez deux flèches partant du même point. Leur produit scalaire combine leurs longueurs et l'angle qui les sépare en un seul nombre. Ce nombre est positif quand les flèches pointent plutôt dans le même sens, négatif quand elles s'opposent, et nul lorsqu'elles sont perpendiculaires.

On peut aussi le calculer avec leurs coordonnées. Cette seconde lecture transforme une question géométrique, comme reconnaître un angle droit, en une addition de produits de nombres.

Un produit scalaire associe un scalaire à deux vecteurs d'un même espace. Sur un espace vectoriel réel, il est bilinéaire, symétrique et défini positif. La bilinéarité signifie qu'il est linéaire séparément par rapport à chaque vecteur. La symétrie signifie que l'ordre des deux vecteurs ne change pas le résultat. La positivité impose que le produit d'un vecteur par lui-même soit positif ou nul, et qu'il soit nul seulement pour le vecteur nul.

Pour deux vecteurs réels non nuls nommés u et v, de normes respectives ‖u‖ et ‖v‖, et pour l'angle θ compris entre 0 et π qu'ils forment, la relation géométrique est $u\cdot v=\parallel u\parallel \parallel v\parallel \cos \theta u\; \backslash cdot\; v=\backslash lVert\; u\backslash rVert\backslash ,\backslash lVert\; v\backslash rVert\backslash cos\backslash theta$. Deux vecteurs sont orthogonaux exactement lorsque leur produit scalaire est nul. La norme issue du produit scalaire vérifie $\parallel u\parallel =\sqrt{u\cdot u}\backslash lVert\; u\backslash rVert=\backslash sqrt\{u\backslash cdot\; u\}$. Si l'un des vecteurs est nul, son produit scalaire avec tout vecteur vaut 0, mais l'angle avec le vecteur nul n'est pas défini.

Sur un espace vectoriel complexe, l'analogue est une forme hermitienne définie positive : elle est linéaire dans un argument et conjugue-linéaire dans l'autre, selon la convention choisie. Elle vérifie que le produit de v par u est le conjugué du produit de u par v. Le produit d'un vecteur par lui-même reste alors un réel positif ou nul.

Deux déplacements issus du même point sont représentés par les vecteurs u et v. Leurs données sont :
• u a pour coordonnées (3 ; 4), en centimètres ;
• v a pour coordonnées (4 ; −3), en centimètres ;
• le repère est orthonormé.

1. On multiplie les coordonnées de même rang, puis on additionne les résultats.

2. On calcule les deux normes pour vérifier que les vecteurs ne sont pas nuls.

3. La relation avec l'angle θ donne $\cos \theta ={\displaystyle \frac{u\cdot v}{\parallel u\parallel \parallel v\parallel }}={\displaystyle \frac{0}{25}}=0\backslash cos\backslash theta=\backslash dfrac\{u\backslash cdot\; v\}\{\backslash lVert\; u\backslash rVert\backslash lVert\; v\backslash rVert\}=\backslash dfrac\{0\}\{25\}=0$. Comme θ est compris entre 0 et π, on obtient θ = 90°. Les deux déplacements sont donc perpendiculaires.

Le contrôle se refait sans trigonométrie : les deux contributions 12 cm² et −12 cm² se compensent exactement. La figure matérialise ce résultat par un angle droit entre les deux vecteurs.

Pour tester si deux directions sont perpendiculaires dans un repère orthonormé, on calcule leur produit scalaire. Ce critère algébrique évite de mesurer l'angle lorsque les coordonnées sont connues.

Pour déterminer l'angle entre deux vecteurs non nuls, on divise leur produit scalaire par le produit de leurs normes, puis on cherche l'angle dont le cosinus est obtenu. Si un vecteur est nul, cette méthode ne s'applique pas.

Pour retrouver la longueur d'un vecteur dans un espace muni d'un produit scalaire, on calcule son produit scalaire avec lui-même, puis on prend la racine carrée. Cette voie est adaptée lorsque le produit scalaire est déjà donné.

Multiplication d'un vecteur par un scalaire. Elle reçoit un nombre et un vecteur, puis renvoie un vecteur. Le produit scalaire reçoit deux vecteurs et renvoie un nombre. Ainsi, 2u reste un vecteur, tandis que u · u est un scalaire.

Produit vectoriel. Dans l'espace euclidien orienté de dimension 3, le produit vectoriel de deux vecteurs renvoie un vecteur perpendiculaire aux deux. Le produit scalaire renvoie un nombre et vaut 0 pour deux vecteurs perpendiculaires. Le type du résultat tranche immédiatement.

Vecteur nul. Son produit scalaire avec tout vecteur vaut 0 par bilinéarité. Cette égalité n'indique pourtant aucun angle droit, car le vecteur nul n'a pas de direction et l'angle n'est pas défini. Il faut vérifier que les deux vecteurs sont non nuls avant d'utiliser la formule du cosinus.

Cas complexe. Une forme hermitienne n'est pas bilinéaire au sens complexe : l'un de ses arguments est conjugue-linéaire. Son résultat sur deux vecteurs peut être complexe. La formule réelle avec un cosinus ne s'y transpose donc pas directement ; on emploie la convention hermitienne annoncée.

Forme non définie positive. Une forme bilinéaire symétrique n'est pas automatiquement un produit scalaire. Si un vecteur non nul a un produit avec lui-même négatif ou nul, la racine carrée ne définit pas la norme attendue. Il faut d'abord contrôler la positivité définie.

Seuil géométrique. Pour deux vecteurs réels non nuls, le cas charnière est θ = 90° : leur produit scalaire vaut exactement 0. En dessous de 90°, il est positif ; au-dessus, jusqu'à 180°, il est négatif.

norme — Relier la longueur d'un vecteur au produit scalaire du vecteur avec lui-même.

inégalité de Cauchy-Schwarz — Encadrer la valeur absolue d'un produit scalaire par le produit des normes.

La lente émergence des espaces euclidiens — Situer l'orthogonalité et les espaces euclidiens dans leur développement historique.