Tissot Nicolas Auguste

Entre 1824 et 1897, le cartographe français Nicolas Auguste Tissot s’est intéressé à un défaut inévitable des cartes : une projection déforme les formes, les longueurs ou les angles.

Imaginez de très petits cercles identiques posés sur le territoire avant sa mise à plat. Sur la carte, ils prennent localement l’aspect d’ellipses. Leur allongement et leur taille rendent visibles les déformations produites à chaque endroit. Cette indicatrice géométrique, appelée ellipse de Tissot, est l’apport majeur associé à son nom.

Nicolas Auguste Tissot (1824-1897) est un cartographe français spécialiste de l’analyse mathématique des projections cartographiques. Une projection transforme une surface géographique en carte plane et introduit des déformations. Tissot a conçu une indicatrice géométrique pour les examiner localement, c’est-à-dire au voisinage d’un point de la carte.

L’indicatrice, couramment nommée ellipse de Tissot, représente l’effet local de la projection sur un cercle de référence très petit. Sa forme renseigne sur les distorsions angulaires ; les longueurs de ses axes renseignent sur les distorsions métriques selon deux directions principales. Un cercle indique une même dilatation dans toutes les directions, mais sa taille peut encore révéler un changement d’échelle. Une ellipse allongée indique au contraire que l’échelle locale dépend de la direction.

Cet outil demeure une référence en cartographie mathématique. Les travaux de Tissot comprennent aussi plusieurs ouvrages consacrés à la cartographie et à la géométrie ; la définition source ne permet toutefois pas de dater séparément ces publications.

Considérons un modèle local volontairement simple, sans l’attribuer à une projection réelle.
Données : un cercle de référence de rayon 1 ; un facteur d’échelle horizontal égal à 2 ; un facteur vertical égal à 1 ; deux directions initialement perpendiculaires.

1. Les coordonnées initiales sont notées x et y. Les coordonnées obtenues sur la carte sont notées X et Y. La transformation locale s’écrit :

2. Le cercle unité devient une ellipse. Son demi-axe horizontal vaut 2 et son demi-axe vertical vaut 1 :

3. Une direction faisant initialement un angle de 45° avec l’horizontale est transformée en une direction d’angle α :L’écart est donc d’environ 18,4° dans ce modèle.

4. L’indicatrice montre simultanément une distorsion métrique et une distorsion angulaire. Le contrôle est direct : ses diamètres mesurent 4 et 2 unités, donc leur rapport vaut 2, comme celui des deux facteurs d’échelle annoncés.

Pour comparer deux projections, on place le même réseau de cercles de référence aux mêmes points. La projection dont les indicatrices restent les plus proches du besoin recherché est alors préférable : conservation locale des angles, limitation des écarts d’échelle ou compromis entre les deux.

Pour lire une carte, on observe la forme et la taille des indicatrices. Une ellipse très allongée signale une forte différence d’échelle selon la direction. Dans l’exemple conducteur, l’horizontale est dilatée deux fois plus que la verticale.

Une indicatrice circulaire ne signifie pas que les longueurs sont conservées. Si son rayon diffère du cercle de référence, l’échelle locale a changé uniformément. Il faut donc examiner la forme pour les angles et la taille pour les longueurs.

Nicolas Auguste Tissot et l’ellipse de Tissot. Le premier est le cartographe français né en 1824 et mort en 1897 ; la seconde est l’outil géométrique qui porte son nom. Une date biographique désigne la personne, tandis qu’une forme tracée sur une carte désigne l’indicatrice.

Ellipse de Tissot et ellipse quelconque. Une ellipse géométrique peut être étudiée pour elle-même. Elle devient une indicatrice de Tissot seulement lorsqu’elle représente la déformation locale d’un cercle de référence par une projection cartographique.

Projection cartographique et indicatrice. La projection est la transformation qui produit la carte ; l’indicatrice est un diagnostic local de ses déformations. Dans l’exemple, le doublement horizontal appartient à la transformation, tandis que l’ellipse de demi-axes 2 et 1 en est la représentation.

Lecture locale. Une indicatrice décrit le voisinage d’un point, pas toute la carte à elle seule. Si les ellipses changent d’une zone à l’autre, il faut les comparer en plusieurs points plutôt que généraliser l’observation d’une seule.

Cercle agrandi. Une indicatrice ronde peut avoir un rayon deux fois supérieur au cercle de référence. Les angles sont alors localement préservés, mais toutes les longueurs sont multipliées par 2 : la rondeur ne prouve donc pas l’absence de distorsion métrique.

Ellipse dessinée à taille visible. Le tracé sert à rendre perceptible un comportement local. Il ne représente pas nécessairement un objet géographique de cette étendue. Il faut lire ses axes comme des facteurs locaux et non comme les dimensions d’une région.

Comparaison sans référence commune. Deux ellipses ne sont comparables en taille que si elles proviennent du même cercle initial et de la même convention d’échelle. Sinon, il faut d’abord rétablir une référence commune ; leur seule apparence peut tromper.

Projection — Pour replacer l’indicatrice dans la transformation géométrique qui fait passer d’un espace à une représentation.

L'ellipse et ses différents attributs — Pour approfondir les axes et les propriétés de la forme géométrique utilisée par l’indicatrice de Tissot.