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Dans le système décimal, le développement d’un nombre rationnel est caractérisé par des décimales en nombre fini ou périodiques à partir d’un certain rang, comme
. Quant à lui, le nombre irrationnel possède une infinité de décimales, sans logique apparente.
Si tous les chiffres d’un nombre écrit en base 10 sont équirépartis, c’est-à-dire apparaissent en moyenne une fois sur dix, le mathématicien Émile Borel, l’un des pères des probabilités, parle de nombre simplement normal en base 10. Plus généralement, si les séquences de k chiffres, pour tout k, apparaissent en moyenne une fois sur 10*k, on parle de nombre normal en base 10. Un nombre normal en toute base est dit absolument normal ou, tout simplement, normal*.
Émile Borel a démontré en 1909 que les nombres réels qui ne possèdent pas cette propriété, tout en étant une infinité non dénombrable, sont « de mesure nulle ». D’où ce qualificatif de « normal », puisque « presque tous » les nombres réels le sont. On arrive à l’apparente contradiction que la probabilité est nulle de tirer au sort un nombre « non normal », alors qu’ils sont en nombre infini !
