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Quand on donne des exemples de nombres algébriques, ce sont toujours des expressions contenant des nombres entiers, voire des rationnels avec des radicaux, c’est-à-dire des racines nièmes, éventuellement pour diverses valeurs de n. Par exemple, on peut trouver : 2\sqrt{2}, le nombre d’or
1+52, 2+3, 3−23+1523−1…\frac{1+\sqrt{5}}{2},\, \sqrt{2}+\sqrt{3},\, \frac{\sqrt[5]{\sqrt{3-\sqrt[3]{2}+1}}}{\sqrt[3]{2}-1}\ldots
En conséquence, beaucoup pensent que tout nombre algébrique peut s’exprimer à l’aide de radicaux. En fait, il n’en est rien !
Par exemple, l’équation x5 ‒ x ‒ 1 = 0 admet cinq racines : une est réelle et les quatre autres sont complexes, conjuguées deux à deux. Mais aucune de ces racines ne peut s’exprimer à l’aide de radicaux ! Pourtant, ces cinq racines sont bien des nombres algébriques, et même des entiers algébriques.