Hilbert difende una visione analitica delle verità matematiche, mentre Poincaré introduce l’intuizione come via d’accesso agli assiomi.
L’approccio di Hilbert rivela una vera e propria ortodossia logica, che risale a Euclide. Si parte dalla dimostrazione, da catene di ragionamenti che esplicitano, da un punto di vista strettamente formale, l’enunciato delle verità. Si procede dal generale al particolare: l’astrazione prevale sull’esempio. Ogni capitolo è costituito da definizioni, assiomi e teoremi. Nulla può interrompere questo processo determinato.
Poincaré, come si può immaginare, non può attenersi a questo programma logico, che esclude la sorpresa della scoperta, la potenza creatrice della mente e, soprattutto, il costante attrito con il reale. Per lui non si può dimostrare una teoria per constatare in seguito che il percorso seguito è coerente, «bisogna rendersi conto delle ragioni che hanno portato a scegliere». Poincaré non rinuncia alle esigenze della logica, né invoca l’esperienza per fondare le ragioni. Il problema è altrove: la logica da sola non può rendere conto del processo della scoperta. La mente non è un semplice meccanismo: è un soggetto che si pone domande, verifica ipotesi, sceglie combinazioni. Deve poter comprendere la globalità delle proprie operazioni.
Poincaré spiega: «Quando il logico avrà scomposto ogni dimostrazione in una moltitudine di operazioni elementari, tutte corrette, non possiederà ancora l’intera realtà; gli sfuggirà completamente quel non so che che costituisce l’unità della dimostrazione.» Cerca di conciliare due correnti di pensiero apparentemente opposte, l’intuizionismo e il logicismo. La soggettività della mente si affianca e accompagna l’oggettività della dimostrazione.
