Hilbert defiende una visión analítica de las verdades matemáticas, mientras que Poincaré introduce la intuición como vía de acceso a los axiomas.
El enfoque de Hilbert refleja una auténtica ortodoxia lógica heredada de Euclides. Consiste en partir de la demostración y de cadenas de razonamiento que desarrollan, desde un punto de vista estrictamente formal, el enunciado de las verdades. Se parte de lo general para llegar a lo particular; la abstracción prima sobre el ejemplo. Cada capítulo se compone de definiciones, axiomas y teoremas. Nada puede interrumpir este proceso ya establecido.
Poincaré, como era de esperar, no puede atenerse a este programa lógico, que excluye la sorpresa del descubrimiento, la potencia creadora del espíritu y, sobre todo, esa fricción permanente con la realidad. Para él, no se puede demostrar una teoría para constatar después que el camino seguido es coherente; «hay que darse cuenta de las razones que llevaron a elegirla». Poincaré no abandona las exigencias de la lógica, ni apela por ello a la experiencia para fundamentar esas razones. El problema está en otra parte: la lógica no puede explicar por sí sola el proceso del descubrimiento. El espíritu no es un simple mecanismo, sino un sujeto que se interroga, pone a prueba hipótesis y elige combinaciones. Debe poder comprender el conjunto de sus operaciones.
Poincaré lo explica así: «Cuando el lógico haya descompuesto cada demostración en una multitud de operaciones elementales, todas ellas correctas, aún no poseerá la realidad entera; se le escapará por completo ese no sé qué que da unidad a la demostración.» Intenta conciliar dos corrientes de pensamiento aparentemente opuestas: el intuicionismo y el logicismo. La subjetividad del espíritu se une a la objetividad de la demostración y la acompaña.
