coefficient de réduction

Une pièce de 5 m sur 4 m ne tient pas sur une feuille. Sur un plan à l'échelle 1:100, ses côtés mesurent 5 cm et 4 cm. Chaque longueur réelle a donc été multipliée par 1/100.

Ce nombre, ici 1/100, est le coefficient de réduction. Il conserve les proportions de la pièce tout en rendant sa représentation cent fois plus petite en longueur.

Le coefficient de réduction est le rapport constant entre une longueur sur une représentation et la longueur réelle correspondante, exprimées dans la même unité. Si la lettre k désigne ce coefficient, la lettre L_r la longueur réelle et la lettre L_d la longueur dessinée, alors :

Pour une véritable réduction de dimensions, k est strictement compris entre 0 et 1. Le même facteur s'applique à toutes les longueurs correspondantes : la représentation garde donc les proportions de l'objet. Une échelle notée 1:100 donne k = 1/100. Le retour de la représentation à la taille réelle emploie, pour les longueurs, le coefficient d'agrandissement réciproque 100. Cette relation concerne des longueurs ; les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³.

On veut dessiner le plan d'une pièce rectangulaire de 5 m de long et 4 m de large à l'échelle 1:100. Les données sont les deux dimensions réelles, 5 m et 4 m, et le coefficient 1/100.

1. Convertir les longueurs dans l'unité du dessin : 5 m = 500 cm et 4 m = 400 cm.
2. Multiplier 500 cm par 1/100 : la longueur dessinée vaut 5 cm.
3. Multiplier 400 cm par 1/100 : la largeur dessinée vaut 4 cm.
4. Tracer un rectangle de 5 cm sur 4 cm.

Le plan mesure donc 5 cm sur 4 cm. Le schéma met en regard les dimensions correspondantes sans placer la pièce et le plan à une même échelle d'affichage. Pour contrôler le résultat, on divise 5 cm par 500 cm, puis 4 cm par 400 cm : les deux rapports valent bien 1/100.

Sur une carte, on relève l'échelle avant de convertir une distance mesurée en distance réelle. Si le territoire ne tient pas lisiblement sur une seule feuille, plusieurs cartes plus détaillées sont préférables à une réduction qui rendrait les repères illisibles.

En dessin technique, on choisit l'échelle naturelle 1:1 lorsqu'une pièce tient sur le support. On emploie une échelle de réduction lorsque ses dimensions dépassent la zone disponible, puis on inscrit l'échelle pour permettre la lecture des mesures.

En géométrie appliquée, on vérifie que toutes les longueurs correspondantes ont le même rapport. Si les rapports diffèrent, la figure est déformée : un coefficient de réduction unique ne décrit plus la transformation.

Avec le coefficient d'agrandissement. Une réduction a un coefficient strictement compris entre 0 et 1, tandis qu'un agrandissement a un coefficient supérieur à 1. Passer d'un plan à 1:100 à l'objet réel multiplie les longueurs par 100.

Avec le dénominateur de l'échelle. À l'échelle 1:100, le coefficient est 1/100, et non 100. Le test consiste à vérifier que la longueur dessinée s'obtient en multipliant la longueur réelle par un nombre inférieur à 1.

Avec une baisse en pourcentage. Réduire une longueur de 20 % revient à la multiplier par 0,8 : le coefficient restant est 0,8, pas 0,2. Une longueur de 10 cm devient alors 8 cm.

Des unités différentes faussent le rapport. Diviser directement 5 cm par 5 m ne donne pas le coefficient. Il faut d'abord écrire 5 m comme 500 cm, puis calculer 5/500 = 1/100.

Les valeurs charnières ne sont pas des réductions. Avec k = 1, la représentation est à l'échelle naturelle. Avec k = 0, toutes les longueurs deviennent nulles : il ne reste plus une représentation à l'échelle de l'objet.

Les aires ne suivent pas le même facteur numérique. À l'échelle 1:100, chaque longueur est divisée par 100, mais une aire est divisée par 10 000. Multiplier aussi l'aire par 1/100 produirait un résultat faux.

Un rapport unique exige des proportions conservées. Si la pièce de 5 m sur 4 m est dessinée avec des côtés de 5 cm et 3 cm, les rapports sont 1/100 et 3/400. Il s'agit d'une déformation, pas d'une réduction uniforme.

Agrandissement — Étudier le coefficient réciproque utilisé pour revenir du plan aux dimensions réelles.

Figures semblables — Relier la conservation des proportions aux longueurs correspondantes de deux figures.

homothétie — Situer la réduction dans une transformation géométrique définie par un centre et un rapport.