Jauge d'un convexe

Imaginez un rectangle centré sur l'origine, large de 4 unités et haut de 2. Un point placé à l'intérieur a une jauge au plus égale à 1. Pour atteindre un point plus éloigné, on agrandit le rectangle sans changer sa forme.

La jauge du point est le plus petit facteur d'agrandissement nécessaire. Une valeur 1/2 place le point dans une copie deux fois plus petite ; une valeur 3/2 signifie qu'il faut multiplier toutes les dimensions par 1,5.

Dans un espace vectoriel réel, soit C un ensemble convexe contenant l'origine. Pour un vecteur x, la jauge de C, notée p_C(x), est l'infimum des nombres réels t strictement positifs tels que x appartienne à la dilatation tC : $p_C(x)=\inf \{t>0\mid x\in tC\}p\_C(x)=\backslash inf\backslash \{t>0\backslash mid\; x\backslash in\; tC\backslash \}$. Le nombre t multiplie tous les vecteurs de C par le même facteur. Si aucun t ne convient, la jauge vaut +∞.

Lorsque C est absorbant, tout vecteur appartient à une dilatation de C et la jauge est finie. La convexité entraîne alors la sous-additivité, p_C(x + y) ≤ p_C(x) + p_C(y), ainsi que l'homogénéité p_C(λx) = λp_C(x) pour λ ≥ 0. Si C est aussi symétrique par rapport à l'origine, c'est-à-dire C = −C, la jauge est une semi-norme. Elle devient une norme lorsque p_C(x) = 0 impose x = 0 ; la bornitude de C assure notamment cette séparation. Avoir l'origine à l'intérieur rend C absorbant, mais ne remplace pas la symétrie.

La jauge encadre toujours le convexe par {x : p_C(x) < 1} ⊆ C ⊆ {x : p_C(x) ≤ 1}. On retrouve exactement C comme sous-niveau fermé {x : p_C(x) ≤ 1} lorsque C est fermé le long de chaque rayon issu de l'origine, en particulier lorsqu'il est fermé. Pour un convexe ouvert, la bonne reconstruction utilise généralement l'inégalité stricte p_C(x) < 1.

Prenons dans le plan le rectangle C = [−2, 2] × [−1, 1] et le point x de coordonnées (3, 1/2). Les données sont les demi-largeurs 2 et 1, ainsi que les coordonnées 3 et 1/2. Cherchons le plus petit facteur t pour lequel x appartient à tC.

1. La dilatation tC est le rectangle [−2t, 2t] × [−t, t]. L'appartenance de x impose donc 3 ≤ 2t et 1/2 ≤ t.

2. Chaque coordonnée fournit un facteur minimal. La jauge est le plus grand des deux : $p_C(3,\frac{1}{2})=\max (\frac{3}{2},\frac{1}{2})=\frac{3}{2}p\_C(3,\backslash tfrac12)=\backslash max\backslash left(\backslash tfrac32,\backslash tfrac12\backslash right)=\backslash tfrac32$. Le rectangle dilaté d'un facteur 3/2 atteint exactement le point par son côté droit.

3. Le résultat est donc p_C(x) = 3/2. La coordonnée horizontale est décisive ; la verticale reste strictement comprise entre −3/2 et 3/2.

4. Contrôlons la minimalité : pour t = 3/2, le point x/(3/2) = (2, 1/3) appartient à C. Pour tout t < 3/2, la borne horizontale 2t est strictement inférieure à 3, donc x n'appartient pas à tC.

Pour tester plusieurs points par rapport à un même convexe centré à l'origine, calculez leur jauge : le seuil 1 indique l'appartenance lorsque le convexe est fermé. Pour une seule forme décrite par des inégalités simples, vérifier directement ces inégalités peut être plus rapide.

Pour construire une norme adaptée à une géométrie, partez d'un convexe absorbant, symétrique et sans direction de jauge nulle. Sa jauge mesure alors la taille des vecteurs avec C comme boule unité. Si la symétrie manque, conservez le terme de jauge asymétrique au lieu de parler de norme.

Dans un espace localement convexe, les jauges de voisinages convexes, absorbants et symétriques décrivent la topologie par une famille de semi-normes. Une seule norme suffit seulement lorsqu'un unique contrôle peut remplacer cette famille sans changer les voisinages.

Jauge et fonction support. La jauge cherche combien il faut dilater C pour atteindre un vecteur x. La fonction support cherche, pour un vecteur u, le maximum du produit scalaire avec les points de C. Pour le rectangle de l'exemple, la jauge de (3, 1/2) vaut 3/2, tandis que la fonction support, prise pour le vecteur non unitaire u = (3, 1/2), vaut 13/2.

Jauge et distance. Une jauge s'applique d'abord à un vecteur depuis l'origine. Une distance compare deux points et doit être symétrique. On peut définir d(x, y) = p_C(x − y) lorsque p_C est une norme ; avec un convexe non symétrique, cette expression ne donne généralement pas la même valeur après échange de x et y.

Convexe non absorbant. Si aucun facteur t ne place un vecteur x dans tC, l'ensemble utilisé dans l'infimum est vide et p_C(x) = +∞. Il faut alors restreindre l'étude au cône convexe des vecteurs où la jauge est finie ou choisir un ensemble absorbant.

Absence de symétrie. Un convexe borné dont l'intérieur contient l'origine ne produit pas nécessairement une norme. Sur la droite, C = [−1, 2] donne p_C(1) = 1/2 mais p_C(−1) = 1. Le symptôme est p_C(x) ≠ p_C(−x) ; il faut symétriser C ou assumer une jauge asymétrique.

Convexe ouvert. Pour l'intervalle C = ]−1, 1[, la jauge est la valeur absolue. Le sous-niveau p_C(x) ≤ 1 est alors [−1, 1], plus grand que C. Pour récupérer l'ensemble ouvert, utilisez p_C(x) < 1 ; pour le sous-niveau fermé, exigez la fermeture radiale de C.

Direction de jauge nulle. Un ensemble absorbant mais non borné peut contenir tout un rayon et donner p_C(x) = 0 pour un vecteur x non nul. La jauge reste sous-linéaire, mais n'est pas une norme ; vérifiez séparément que le seuil 0 ne contient que l'origine.

norme — Examiner les propriétés obtenues lorsque la jauge est symétrique et ne s'annule qu'à l'origine.

espace de Banach — Relier la norme issue d'une jauge à la notion supplémentaire de complétude.

La géométrie convexe — Situer les dilatations, la symétrie et les formes convexes dans un panorama géométrique plus large.