Polydisque

Imaginez que chaque coordonnée complexe d'un point dispose de son propre disque autorisé. Avec deux coordonnées, la première doit rester dans un disque, et la seconde dans un autre. Le point appartient au bidisque seulement si les deux contrôles réussissent en même temps.

Un polydisque étend ce principe à n coordonnées. Il conserve ainsi une structure coordonnée par coordonnée, particulièrement naturelle pour étudier des fonctions de plusieurs variables complexes.

Dans l'espace complexe de dimension n, un point possède n coordonnées complexes. Choisissons un centre a, dont la coordonnée numéro j est notée a_j, et n rayons strictement positifs r₁, ..., r_n. Le polydisque ouvert de centre a et de polyrayon r est le produit cartésien des n disques correspondants :

Chaque inégalité concerne donc une coordonnée distincte, et elles doivent toutes être satisfaites. Lorsque le centre est l'origine et que tous les rayons valent 1, on obtient le polydisque unité standard, produit de n copies du disque unité ouvert. Pour n = 2, on parle couramment de bidisque. Ces domaines servent de voisinages adaptés à l'analyse complexe de plusieurs variables. En dimension au moins 2, leur géométrie holomorphe diffère de celle des boules euclidiennes : un polydisque et une boule ne sont pas biholomorphiquement équivalents.

Considérons le bidisque centré à l'origine dont le premier rayon vaut 2 et le second 1. Testons le point dont les coordonnées sont 1 + i et 1/2. Le schéma représente séparément les deux disques et les deux contrôles requis.

Données.
Premier disque : centre 0, rayon 2.
Second disque : centre 0, rayon 1.
Point testé : (1 + i, 1/2).
Convention : les disques sont ouverts, donc les inégalités sont strictes.

Étape 1. Pour la première coordonnée, le carré du module vaut 1² + 1² = 2. Son module vaut donc √2, et √2 < 2. La première coordonnée appartient au disque de rayon 2.

Étape 2. Pour la seconde coordonnée, le module de 1/2 vaut 1/2, et 1/2 < 1. Elle appartient au disque de rayon 1.

Résultat. Les deux inégalités sont vraies, donc le point (1 + i, 1/2) appartient au bidisque.

Contrôle. Le point (2, 0) n'appartient pas à ce bidisque : sa première coordonnée a pour module 2, alors que le critère exige une valeur strictement inférieure à 2.

Pour tester l'appartenance d'un point, on calcule le module de chaque coordonnée après soustraction du centre correspondant. Le polydisque est l'outil naturel lorsque les bornes sont données coordonnée par coordonnée ; une boule convient mieux lorsqu'une seule distance euclidienne globale est imposée.

Autour d'un point de l'espace complexe de dimension n, on peut choisir un petit disque dans chaque coordonnée. Leur produit fournit un voisinage ouvert dans lequel une fonction de plusieurs variables complexes peut être étudiée localement.

Pour une série de puissances à plusieurs variables, les polydisques centrés au point de développement permettent de contrôler simultanément la taille de chaque variable. Ils respectent ainsi la structure coordonnée par coordonnée des exposants.

Polydisque et boule euclidienne. Dans un polydisque, chaque coordonnée respecte sa propre borne. Dans une boule, une seule somme des carrés des modules est bornée. Dans le bidisque unité, le point (0,9 ; 0,9) satisfait les deux bornes coordonnées, mais il est hors de la boule unité car 0,9² + 0,9² = 1,62 > 1.

Polydisque ouvert et polydisque fermé. Le premier utilise des inégalités strictes ; le second autorise l'égalité aux rayons. Ainsi, (2, 0) est exclu du bidisque ouvert de rayons 2 et 1, mais appartient au polydisque fermé correspondant.

Polydisque et disque. Un disque porte sur une seule variable complexe. Le mot bidisque signale deux coordonnées, et polydisque en autorise n ; le produit n'est pas un disque dessiné dans un plan complexe unique.

Le cas n = 1 ne crée pas une nouvelle forme. Le produit ne comporte qu'un disque. Dans cette dimension, disque et boule complexe coïncident, donc la non-équivalence biholomorphe mentionnée pour plusieurs variables ne s'applique pas.

Un rayon nul est un cas dégéné. Avec la condition stricte |z_j − a_j| < 0, aucun point ne convient. Pour parler d'un polydisque ouvert non vide, tous les rayons doivent donc être strictement positifs.

Atteindre une seule borne suffit à sortir. Dans le bidisque ouvert de rayons 2 et 1, la seconde coordonnée peut être nulle, mais une première coordonnée de module exactement 2 place déjà le point sur le bord. Il faut contrôler toutes les inégalités, sans remplacer < par ≤.

Une ressemblance topologique ne donne pas une équivalence holomorphe. En dimension au moins 2, déformer continûment un polydisque en boule ne fournit pas une application biholomorphe. Celle-ci devrait être bijective, holomorphe et avoir un inverse holomorphe.

Le Produit cartésien précise l'opération qui assemble les disques coordonnée par coordonnée.

La fonction holomorphe donne le cadre analytique dans lequel les polydisques jouent le rôle de domaines locaux.

La série entière prolonge l'étude vers les développements en puissances et leurs domaines de convergence.