Héron pour approcher les racines

Pour évaluer $\sqrt{50}\backslash sqrt\{50\}$, une première méthode consiste à remarquer que $50=2\times 5^{2}50\; =\; 2\; \backslash times\; 5^2$, donc que $\sqrt{50}=5\sqrt{2}\backslash sqrt\{50\}\; =\; 5\backslash sqrt\{2\}$.

Or la racine carrée de 2 fait partie des constantes dont il est souvent utile de connaître quelques décimales, disons 1,41 pour faire au plus simple ici. Il suffit donc de multiplier par 5 pour obtenir une approximation raisonnable. Pour multiplier par 5 on peut d’ailleurs commencer par multiplier par 10 puis diviser par 2, ce qui donne facilement 7,05. Notons en passant qu’avec cette méthode il aurait été curieusement plus simple de travailler avec l’approximation 1,414 de $\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$, qui aurait donné sans peine 7,07, à la fois plus précise et sans retenue ! Comme quoi le calcul mental demande parfois d’être capable de saisir des opportunités.

Revenons à $\sqrt{50}\backslash sqrt\{50\}$ et « oublions » l’astuce précédente (qui ne se présente pas à tous les coups) pour chercher une façon plus générale de procéder. Une première chose à faire consiste à trouver un encadrement de $\sqrt{50}\backslash sqrt\{50\}$ à partir des premiers carrés parfaits. En connaître une bonne liste est de toute façon un prérequis pour quiconque veut développer ses facultés de calcul mental.

Ce tableau permet de déblayer le terrain y compris pour des racines carrées de nombres plus grands, à l’aide d’opérations sur les puissances de 10. Par exemple, on peut observer que $\sqrt{\mathrm{150 000}}$ est un peu plus petit que 400, puisque :