Le passe-dix
Vous connaissez le jeu de passe-dix ? On lance trois dés. Si la somme indiquée par les faces supérieures des trois dés dépasse dix, alors le lanceur est gagnant, sinon il perd. Le jeu est ancien et a suscité de nombreux problèmes. L'écrivain français du XIXe siècle Villiers de L'Isle-Adam regrettait que « les cornets de passe-dix roulaient des dés sur des enjeux capables d'affamer des provinces ».
Quelle est la probabilité de gain du lanceur ? On peut effectuer de longs calculs combinatoires pour évaluer la probabilité de chaque tirage, mais il est plus astucieux de remarquer que la somme des chiffres sur deux faces opposées d'un dé est égale à 7. Le total pour les trois dés des chiffres inscrits sur les faces opposées d'un dé est donc égale à 21.
À chaque tirage de trois dés dont la somme est inférieure à 10 correspond, sur les faces symétriques (bases sur lesquelles les dés reposent), une somme supérieure à 10… et inversement. Donc la probabilité de gain est 1/2. Tout simplement !
Le duc de Toscane s'était étonné que la somme 10 apparaisse plus souvent que la somme 9, alors qu'elles ont toutes deux six façons d'apparaître (10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 4 + 1 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3, et 9 = 6 + 2 + 1 = 5 + 3 + 1 = 5 + 2 + 2 = 4 + 4 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3). Galilée résout le problème en calculant que 9 peut apparaître de vingt-cinq manières différentes, alors que 10 apparaît de vingt-sept manières différentes, parmi les deux cent seize combinaisons possibles. Il est donc plus facile d'obtenir 10 que 9.
