Savoirs
Articles de fond sur les connaissances et théories mathématiques
Composer des transformations géométriques
Certains problèmes géométriques, même compliqués en apparence, s'éclairent vite en utilisant des transformations géométriques et se résolvent souvent en les composant. Pour cela, il convient de les reformuler en termes vectoriels.
Alignement, coplanarité, concourance... même combat !
Les notions de points et de droites du plan sont duales : aux théorèmes concernant des alignements de points correspondent des théorèmes concernant des concourances de droites. Cette dualité peut être définie géométriquement. On la retrouve même dans l'espace avec la coplanarité.
PodcastUne géométrie sans figures
Michel Chasles en avait rêvé, la théorie des espaces vectoriels le permet désormais : on peut faire de la géométrie sans tracer aucune figure. Ainsi, deux points de vue coexistent, géométrique et algébrique, et tout un chacun peut se placer dans celui où il se sent le plus à l'aise !
Podcast« La » dimension : une idée pas si évidente !
La notion de dimension se devine chez Euclide puis se précise avec Descartes avant de se diversifier selon le sujet d'étude : géométrie analytique, espaces vectoriels ou topologie. Il y a pléthore de « dimensions » ! L'accent est mis ici sur celle des espaces vectoriels, due à Georg Hamel.
Du calcul matriciel dans nos images - Brève maths | Tangente
Matrices et vecteurs sont devenus des outils mathématiques et informatiques incontournables pour le traitement numérique des images.
PodcastTracer un trait : pas si simple ! - Brève maths | Tangente
Comment tracer des droites sur un écran constitué de pixels ? Plusieurs algorithmes permettent de résoudre cet épineux problème.
PodcastLa méthode de Gram-Schmidt - Brève maths | Tangente
Découvrez la fameuse méthode, dite de Gram-Schmidt, qui permet de fabriquer des bases orthonormées d'espaces vectoriels
PodcastProduit vectoriel et produit mixte
Définis sur l'espace euclidien de dimension 3, ces deux produits sont des héritiers des quaternions d'Hamilton. Ils sont devenus des outils utiles en géométrie et en mécanique.
La lente émergence des espaces euclidiens
La définition axiomatique du produit scalaire a donné un cadre rigoureux et fécond pour l'étude des propriétés métriques, à savoir celles qui concernent les notions de distance, d'angle et d'orthogonalité. Il faudra attendre les années 1920 pour dégager cette notion.
PodcastPremiers exemples d'espaces vectoriels (2)
Il n'est de bon espace vectoriel E que sur un corps de base K. Mais qu'est-ce qu'un corps exactement ?
PodcastLes sept types de frise | Tangente
Un pavage couvre le plan, en s'étendant à l'infini dans les deux dimensions, une frise se propage dans une seule direction. Motif décoratif par excellence, c'est le ruban que vous pouvez coller au-dessus du papier peint. Il ne peut en exister que sept types différents.
PodcastLes mosaïques de l'Alhambra de Grenade
L'ensemble des décors de l'Alhambra de Grenade, forteresse édifiée au XIVe siècle, reprend la totalité des groupes de symétrie des pavages du plan pouvant se dupliquer au moyen de deux translations non parallèles. Mais ce résultat est récent, partiel et sujet à quelques controverses...
PodcastDix-sept groupes pour paver le plan
Le théorème des pavages affirme que le poids d'un motif est nécessairement égal à 2. Cette petite valeur permet d'envisager tous les cas possibles de symétrie du plan pour votre papier peint : il n'existe que dix-sept groupes de pavage du plan.
PodcastSignature et théorème des pavages | Tangente
Y avez-vous déjà prêté attention ? Sur les frises, pavages et autres motifs périodiques qui se répètent ou obéissent à des symétries, le nombre de possibilités offertes à l'artiste est somme toute assez limité. Un théorème fondamental permet de dénombrer complètement ces motifs.
PodcastLe secret des motifs en terre d'islam
Pavages et entrelacs de l'art islamique médiéval forcent notre admiration. Et si derrière cette apparente complexité faite de segments, d'entrelacs, de courbes imbriquées et de polygones se cachaient quelques formes géométriques simples ?
Un premier tour d'horizon
L'idée de pavage est d'ordre pratique. Les routes comme les maisons ont été pavées avant qu'on y voie des mathématiques ! Depuis, la notion a été étendue et, aujourd'hui, on pave même des espaces non euclidiens ou de dimension quatre…
Découpages du carré, d'Abu al-Wafa à Dudeney
Découper un carré donné en carrés identiques semble facile à première vue et génère de belles mosaïques. Est-ce bien le cas ? Et si l'on demande de réaliser des carrés tous différents plutôt qu'identiques, pour réaliser d'astucieux puzzles ? Un monde géométrique foisonnant s'ouvre…
Quatre auteurs pour un théorème | Tangente
Le Tangram consiste à réunir sept pièces polygonales pour obtenir une forme donnée. Qu'en est-il du problème inverse ? Quand deux figures peuvent-elles être solution du même puzzle ? Quand peut-on obtenir la même décomposition en formes élémentaires pour ces deux figures ? Un résultat célèbre répond complètement à la question.
La géométrie des ciseaux
Les découpages constituent une inépuisable source de recherches, de trouvailles et d'exploits, tant pour géomètres amateurs que pour mathématiciens avertis. Nées de problématique pratiques, les découpes sont devenues une mine en matière de récréations mathématiques et de jeux de l'esprit.
Le Stomachion, le plus vieux puzzle du monde ! | Tangente
Le Stomachion est certainement le plus vieux puzzle du monde. Il doit sa célébrité à l'intérêt que lui a porté Archimède, mais aussi aux conditions rocambolesques dans lesquelles ont pu être retrouvés les écrits du Syracusain, perdus pendant deux mille ans…