Dans le livre I des Éléments, Euclide définit la ligne comme une longueur sans largeur et la surface comme ce qui possède longueur et largeur seulement. Au livre XI, il y ajoute les solides comme ce qui possède longueur, largeur et profondeur. De nos jours, on décrypte cela comme ce qui a trait aux dimensions 1, 2 et 3. Avec la géométrie analytique de Descartes, dont on peut trouver les prémices chez Apollonius dans son ouvrage sur les Coniques, chaque point se définit à partir d'un nombre sur une ligne, de deux sur une surface et de trois dans un solide ; la notion de dimension se précise : il s'agit du nombre de paramètres nécessaires pour définir un point. Cette idée se diversifie ensuite. Mais restons sur la dimension des espaces vectoriels. L'idée sous-jacente est qu'il s'agit du nombre de paramètres nécessaires pour décrire un vecteur.
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Envisageons un espace de dimension 2, comme celui des couples de nombres réels V = (x, y). On peut les décomposer comme combinaison linéaire des deux vecteurs I = (1, 0) et J = (0, 1), puisque V = x I + y J. Cette décomposition est naturellement unique puisque x et y sont les composantes de V. Pour cette raison, l'ensemble {I, J} est dit une base de l'espace vectoriel des couples de nombre réels : tout vecteur se décompose, de manière unique, comme combinaison linéaire de I et J. Le système de vecteurs {I, J} n'est pas la seule base, il en existe une infinité ! Ainsi, {(–π, 0), (0, 2\sqrt{2} )} conviendrait tout autant. Cependant, toutes les bases ont le même nombre d'éléments, deux dans ce cas.
Pour montrer pourquoi, imaginons que {U}, qui ne possède qu'un seul élément, soit une autre base. Dans ce cas, I comme J s'exprime comme combinaisons linéaires de U, c'est-à-dire qu'il existe a et b tels que I = a U et J = b U. On en déduit que b I – a J = 0 (faites la vérification !). Comme a est non nul, puisque I n'est pas égal à (0, 0), on peut écrire que J = (b / a) I. Ainsi, J s'exprime de deux façons distinctes selon la base {I, J}, à savoir J = 0.I + 1.J et J = (b / a).I + 0.J, ce qui est contradictoire. Ainsi, {U} ne peut être une base de l'espace considéré.