Savoirs
Articles de fond sur les connaissances et théories mathématiques
PodcastLe theoreme des restes chinois : histoire et applications | Tangente
Le théorème des restes chinois doit son nom à l'intérêt des mathématiciens chinois de l'Antiquité pour les problèmes de rangement qu'il traduit. Au départ source d'énigmes, il a depuis trouvé des applications plus concrètes, en particulier en cryptographie.
Une jolie transformation
Une opération sur les complexes transforme les droites en cercles et inversement. Une transformation à garder en tête pour traiter des problèmes de droites et de cercles…
PodcastAu détour des complexes
Détourner son chemin, au cours d'une démonstration, pour emprunter celui des nombres complexes, peut conduire à l'un de ces « inattendus mathématiques » salvateurs.
Avec un ? comme comique
Les classiques de l'humour mathématique empruntent souvent quelques-unes de leurs pépites au vocabulaire des nombres complexes…
Enseigner les complexes en France
Les nombres complexes, s'ils paraissent évidents dans le libellé des programmes scolaires d'aujourd'hui, n'ont pas toujours fait partie du corpus d'enseignement des lycées.
Les complexes selon Adrien Douady | Tangente
Le film Dimensions donne à voir un certain nombre de représentations spectaculaires des complexes. À redécouvrir d'urgence !
La fonction zêta et l'hypothèse de Riemann
Le problème le plus important des mathématiques contemporaines peut être formulé de manière tout à fait élémentaire avec seulement quelques rudiments d'analyse complexe. Malgré les efforts titanesques des mathématiciens, l'hypothèse de Riemann résiste et reste hors d'atteinte.
L'exponentielle complexe
Comment étendre la classique fonction exponentielle aux nombres complexes ? Les propriétés usuelles seront-elles conservées ? Si l'exponentielle ainsi étendue s'étudie aisément, la notion de logarithme complexe associée est plus difficile à cerner. Elle fera l'objet de polémiques au XVIIIe siècle.
Le théorème de Marden
Les nombres complexes, nés de calculs impossibles, ont trouvé une interprétation géométrique improbable. Cette rencontre entre le monde de l'algèbre et celui de la géométrie est magnifiquement illustrée par des théorèmes sur les racines d'un polynôme complexe.
La géométrie des complexes
Le rêve de René Descartes, à savoir transformer un problème de géométrie pure en un problème algébrique, était bien réalisable… mais plus d'un siècle plus tard ! Grâce aux nombres complexes, une autre façon d'explorer les figures et constructions géométriques a ainsi vu le jour.
PodcastUne autre transformation : l'inversion
Les isométries (et plus généralement les similitudes) ne sont pas les seules transformations du plan qui se décrivent facilement à l'aide des nombres complexes. C'est aussi le cas de l'inversion.
Des similitudes intéressantes...
L'étude des isométries se traite bien du point de vue des nombres complexes. Ces transformations ne sont cependant pas les seules à pouvoir être décrites par des formules simples ! Si l'on s'affranchit de la conservation des longueurs, la vaste famille des similitudes s'offre à nous.
PodcastLes isométries du plan
L'étude des isométries du plan (symétries, translations, rotations...) peut parfois donner le vertige. Que devient un point ou une figure lorsque l'on applique successivement plusieurs transformations ? Les nombres complexes en donnent une représentation aussi élégante que lumineuse.
PodcastDes nombres pas si complexes
Quelle réalité recouvrent les nombres complexes ? Comment « imaginer » que i² soit égal à -1 ? Une réponse visuelle saisissante passe par une interprétation géométrique de la notion de multiplication. Cerise sur le gâteau, le même modèle explique pourquoi « moins par moins fait plus ».
Conjugué, module et arguments
Une fois admise l'existence d'un nombre i tel que i²=-1, ne risque-t-on pas de perdre le contact avec la réalité physique ? Au contraire, une correspondance profonde et féconde se met en place : des questions de géométrie pure sont réglées par de simples manipulations algébriques.
Les nombres complexes de module 1
De simples symboles formels pour le calcul algébrique, les nombres complexes deviennent, par leur interprétation géométrique, d'un usage courant à partir du XIXe siècle… dans presque tous les domaines mathématiques ! Ils interviennent ainsi naturellement en théorie des nombres.
? est un corps algébriquement clos
Le corps ? des complexes a été construit pour fournir des solutions à toutes les équations du second degré. La surprise est qu'il contient aussi celles de toutes les équations algébriques à coefficients dans ?. En termes savants, il est algébriquement clos.
Un nombre complexe, c'est quoi ?
L'ensemble ? des nombres complexes s'est imposé (avec difficulté) quand il s'est agi de trouver, au-delà des nombres réels, toutes les solutions d'une équation du second degré. Ce qui n'avait pas été prévu, c'est sa richesse et les liens qu'il allait tisser avec l'ensemble des mathématiques. Premières découvertes.
PodcastL'analyse des correspondances
Comment examiner des données sociales sans céder à des idées préconçues ou des stéréotypes ? L'analyse factorielle des correspondances, qui cède aujourd'hui du terrain face à d'autres techniques, est une méthode qui permet de remplacer le sens commun et les a priori par des facteurs neutres, objectifs.
PodcastModélisation des préférences : vote et choix social | Tangente
Nous sommes tous constamment amenés à effectuer des choix en fonction de nos préférences. La modélisation de ces dernières constitue une étape décisive en aide à la décision ; elle intéresse de ce fait les sciences humaines, en particulier la sociologie.