Savoirs
Articles de fond sur les connaissances et théories mathématiques
Récursivité : programmer, c'est prouver !
La récursivité, qui peut sembler une méthode sibylline quand on ne la connaît pas, permet d'écrire des programmes plus faciles à prouver, donc plus sûrs. Le principe clef est qu'avec la récursivité, programmer, c'est prouver ! Trier un jeu de cartes l'illustre parfaitement…
Le chiffrement RSA explique par l'exemple | Tangente
Le code RSA est à la base du chiffrement des transaction financières.
PodcastLe petit théorème de Fermat en pratique | Tangente
Le petit théorème de Fermat est utilisé pour vérifier si un nombre est premier. Explication.
PodcastExpériences psychologiques en arithmétique
Un mathématicien fait appel, comme tout autre scientifique, à des expériences. Mais celles-ci ne ressemblent pas forcément aux expérimentations pratiquées dans les autres sciences : pratiquées de tête ou sur une feuille de papier, elles sont le plus souvent de nature psychologique !
À la recherche des copains
Les entiers n'ont pas fini de nous fasciner : la divisibilité donne lieu à des questions redoutables, comme en témoignent plusieurs conjectures sur les nombres parfaits. L'expérimentation à l'aide d'un ordinateur est dans ce cas d'un précieux secours pour traquer des contre-exemples.
PodcastDéduction, induction, abduction : trois logiques | Tangente
Ce sont une multitude de petits indices qui conduisent le détective Sherlock Holmes à émettre une théorie, par un procédé de passage du particulier au général. Il a bien conscience que sa méthode ne conduit à la vérité que si elle est confirmée par les faits, donc par les observations !
Simuler ou démontrer, deux démarches complémentaires
Pour résoudre certains problèmes liés au hasard, il est plus simple de les simuler... mais une démonstration est toujours plus convaincante ! Si l'expérience montre qu'il est plus rapide d'obtenir un résultat par simulation, l'intérêt d'une étude théorique réside dans la généralisation.
La multiplicité des infinis
L'infini actuel est une fiction mathématique utile dans les calculs comme dans les démonstrations. On peut la refuser et se contenter de l'infini potentiel. Mais si on admet la notion d'infini, elle est forcément multiple. Georg Cantor, encore lui, l'a démontré !
Mais que sont les axiomes ? — Géométrie | Tangente
En mathématiques, toutes les démonstrations partent de prémisses, supposées vraies. Quelle forme particulière prennent-elles pour devenir les axiomes, base de toutes nos théories actuelles ?
PodcastConstruire des nombres, une histoire au long cours
Au commencement était le nombre... Si l'on remonte aux origines, ces objets étaient représentés par des cailloux avant d'être codés par des symboles. Des nombres, il y en a en fait pour tous les goûts ! C'est bien connu : quand on aime, on ne compte pas...
PodcastÉblouissantes relations binaires
Les hommes naissent libres et égaux en droit. Pourtant, un Coluche pouvait ajouter, non sans malice, que « certains sont plus égaux que d'autres » ! Définir un ordre ou une « égalité » en un certain sens demande de bien délimiter ce que ces notions recouvrent.
PodcastLe nom des éléments d'un ensemble
Comme l'affirme David Hilbert dans une phrase devenue célèbre, attribuer un nom à un objet mathématique est artificiel. En revanche, identifier un objet à son image par une bijection de telle sorte que ses propriétés soient mises en valeur peut être décisif.
Relations et applications : structurer les ensembles
La définition d'une notion de relation entre ensembles est incontournable pour pouvoir commencer à faire des mathématiques. Ce concept de relation, au cœur du fondement des mathématiques, donne comme cas particulier celui d'application et permet de doter les ensembles de structures.
PodcastLes diagrammes en patate, une idée qui donne la frite
Quand on considère plusieurs parties d'un même ensemble, il peut être difficile de bien identifier leurs différentes intersections. Représenter ces parties par des "patatoïdes" permet souvent d'y voir plus clair et de ne pas avoir l'air patate devant des questions plus simples qu'elles ne paraissent.
L'ensemble et ses parties
Les opérations élémentaires sur les ensembles comprennent l'inclusion, la réunion, l'intersection, la différence symétrique... La notion d'ensemble des parties est également naturelle et féconde. Comment décrire, dénombrer et structurer l'ensemble des parties ?
De la collection d'objets à l'ensemble
Un ensemble peut être défini en extension ou en compréhension. C'est alors un exercice facile, mais formateur, de construire les nombres entiers. Cependant, gare à la simplicité apparente de la notion d'ensemble, vue comme une simple collection d'objets : les paradoxes guettent...
Une approche des mathématiques qui dérange | Tangente
La théorie des ensembles, iconoclaste à ses débuts avec Cantor, est devenue universelle. Du jamais vu depuis Euclide : elle fournit une base aux mathématiques ! Cette base semble solide, jusqu'à l'apparition de paradoxes. Quelle est donc cette construction mathématique si controversée ?
L'axiome du choix
Pouvoir choisir un élément dans un ensemble, cela semble naturel. Pourtant, cela ne l'est véritablement que si l'ensemble est fini. Au-delà, un axiome est nécessaire pour pouvoir choisir ! Certaines conséquences de cet axiome sont étonnantes, alors… faut-il l'accepter ?
PodcastAdhérez aux groupes !
Apparue dans le cadre de la résolution d'équations au XIXe siècle, et vite devenue inévitable, la notion de groupe a permis de mettre en exergue des analogies entre des situations a priori bien différentes. Essayons de comprendre pourquoi les mathématiciens ont l'esprit de groupe.
PodcastGeorg Cantor : passer du fini à l'infini
Pour généraliser aux ensembles infinis des résultats pratiques sur les ensembles finis, Cantor a défini l'égalité des cardinaux à travers la notion de bijection, donc celle d'inégalité à travers celles d'injection et de surjection. L'étonnant est que l'on obtienne une relation d'ordre.