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Redoublant d'ingéniosité, les artisans des mosaïques ornant les monuments de l'Empire romain, les bâtisseurs du Moyen Âge ou les concepteurs de sangaku, ces étonnantes tablettes japonaises, ont largement utilisé les deux instruments fétiches. Mais c'est aussi le cas (de manière virtuelle) des logiciels de géométrie dynamique d'aujourd'hui, qui répondent toujours aux mêmes besoins : reporter des longueurs et relier des points. Quant à la toute récente théorie mathématique des origamis, elle s'appuie sur... l'absence de règle et de compas, mais les propriétés des droites et des cercles y sont toujours aussi présentes !

Dans le domaine de la combinatoire, les contributions de Paul Erdős ont été fondamentales. Elles ont permis à cette discipline de prendre son ampleur. De nombreuses recherches actuelles se basent sur ses travaux pour étudier des graphes dans tous les domaines afin, par exemple, de modéliser les diviseurs des nombres, les infrastructures d’Internet ou les épidémies. Une de ses innovations a été de prendre appui sur les probabilités pour prouver des résultats sur des grands ensembles. Il s’est également intéressé aux graphes aléatoires dans lesquels on ajoute des arêtes de manière aléatoire jusqu’à voir apparaître une certaine propriété.

Ils sont le moteur des mathématiques. Ceux qui éveillent la curiosité, titillent les chercheurs et provoquent les avancées. Qui sont-ils ? Les problèmes ouverts, les conjectures, les hypothèses ! Les nombreuses conjectures qui parsèment leur histoire, comme celle de Goldbach en théorie des nombres, celle de Toeplitz en géométrie ou celle de Poincaré en topologie, en sont des exemples. Les conjectures, une fois résolues, en appellent d'autres créant une chaîne interminable de progression du savoir. Une conjecture, c'est un résultat qu'on subodore, dont on n'a pas trouvé de contre-exemple, mais qui n'est pas prouvé. Dans un problème ouvert, en revanche, le résultat cherché n'est pas connu. Toutes les branches des mathématiques en regorgent : topologie, combinatoire, analyse, probabilités, statistiques... Même en géométrie, des objets aussi simples que les patrons de polyèdres échappent encore à notre compréhension !

Apparu clairement dans des écrits de Pascal autour de questions arithmétiques et combinatoires (dont le triangle de Pascal), le raisonnement par récurrence trouve une place naturelle dans l'étude des suites, permettant de formaliser, généraliser puis améliorer des méthodes de résolution approchées d'équations connues depuis des siècles. Henri Poincaré dira qu'il est « le raisonnement mathématique par excellence ». La récurrence permet des constructions parmi les plus mémorables, de la suite de Fibonacci à l'algorithme de Héron (pour approcher la racine carrée d'un nombre positif). Si l'itération d'un processus calculatoire répond à des problématiques pratiques depuis l'Antiquité (souvent pour améliorer la précision d'un résultat ou résoudre de façon concrète un problème), itérer un raisonnement permet d'accéder à des considérations plus théoriques.

Terence Tao est le plus connu des surdoués des mathématiques de notre époque. On apprendra dans ce dossier de nombreuses informations sur lui, ses études, ses travaux, les résultats qu’il a obtenus, les prix qui lui ont été décernés… Son activité dément l’idée que les mathématiques sont devenues si vastes qu’un mathématicien ne peut plus, à lui seul, en embrasser toute l’étendue. À ses succès mathématiques s’ajoute une formidable volonté de partage. En témoigne son blog, d’une richesse inépuisable, où « Terry » prodigue mille conseils, de sujets spécialisés où ses réponses permettent de faire progresser la recherche, à d’autres plus généraux, comme la manière d’aborder la gestion d’une carrière de mathématicien. Son engagement dans les projets collaboratifs va dans ce sens, à travers son investissement dans la « science ouverte » ou l’énergie qu’il met au service des projets Polymath. Partons à la découverte de ce mathématicien hors pair…

C'est toujours un plaisir, à Tangente, de retrouver les nombres, fidèles compagnons de route du mathématicien. On les retrouve en effet partout : ils sont à la base de nos systèmes de numération, on s'interroge sur la répartition des nombres premiers, on s'émerveille devant leurs propriétés arithmétiques, comme avec le théorème des restes chinois...

Dès l’origine, la proportionnalité, que l’on trouve en algèbre avec la règle de trois, est devenue incontournable en géométrie. On la rencontre pour démontrer l’incommensurabilité de certaines longueurs ou évaluer des aires et des volumes. Chez Euclide, elle est un outil indispensable pour de nombreuses démonstrations. Très liée aux configurations de parallélisme, via le fameux théorème de Thalès, elle donnera lieu à de célèbres résultats, comme les théorèmes de Ceva ou de Ménélaüs. Moins connus, l’antiparallélisme et les rapports associés ont ouvert la voie à de nouvelles approches. On leur doit la puissance d’un point par rapport à un cercle ou la transformation d’inversion.

Un point et une courbe : c’est tout ce dont on a besoin pour définir une notion géométrique d’une efficacité redoutable, la puissance d’un point. Le cas le plus connu, bien qu’aujourd’hui absent des programmes scolaires, est la puissance d’un point par rapport à un cercle, ou plus généralement par rapport à une conique. Dès l’Antiquité, Euclide aurait pu dégager cette notion ! Il faudra pourtant attendre le XIXe siècle pour que Jakob Steiner se lance dans une étude systématique de ces transformations. La puissance d’un point simplifie considérablement les recherches de lieux géométriques et conduit à la notion de dualité, ouvrant ainsi de vastes et nouvelles perspectives.