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La Chine est loin d’être la seule civilisation extrême-orientale à avoir atteint un haut degré d’approfondissement mathématique. Le Japon et la Corée s’en sont nourris pour développer leurs propres savoirs et pratiques. Au Japon, le wasan de l’époque d’Edo est loin d’être une pâle copie des modèles chinois : on y trouve notamment la pratique intrigante des sangaku, qui mêle géométrie, art et spiritualité. Par la suite, le yōsan de l’ère Meiji est notamment le lieu de questions de méthode mais aussi de linguistique pour absorber les mathématiques anglophones. Quant à la Corée, on y maîtrisait des méthodes d’élimination algébrique très en avance sur celles d’Europe, aboutissant notamment à des carrés magiques qu’Euler a retrouvés bien plus tard.

Les suites infinies de nombres ont depuis toujours interpellé les mathématiciens, qui ont mis au point de manière consensuelle la notion de convergence et de limite. Mais tout a changé quand on s’est intéressé aux sommes successives de ces suites, à qui on a donné le nom de séries. Les séries convergentes (les « gentilles »), étudiées par tous ceux qui se destinent à une carrière scientifique, ne posent pas de problème. Elles permettent de définir la somme d’une infinité de termes, dès lors que les « sommes partielles » convergent vers une limite. Mais les autres, officiellement « divergentes » (les « méchantes »), ont été à l’origine d’approches très différentes, parfois étonnantes, créant de véritables conflits philosophiques entre des scientifiques célèbres. Euler, Abel et quelques pionniers se sont risqués à imaginer d’en définir des sommes, trouvant quelques merveilles… qui font aujourd’hui l’objet d’une belle théorie !

L’évocation des polygones renvoie généralement aux figures géométriques de nos pavages, souvent réguliers. Leur effective simplicité pourrait faire accroire que leur étude est sans difficulté, donc sans intérêt. Pourtant, certaines opérations, comme vérifier la convexité ou différencier sommet et intersection de côtés pour un polygone croisé, demeurent complexes. Un premier travail est donc de chercher une définition suffisamment générale pour réunir des polygones aux noms exotiques – acoptiques, aploïques ou encore isotoxals – en une seule famille. Se pose alors la question de savoir si on peut obtenir de l’ensemble de leurs caractéristiques une typologie qui permette de les classer et de les construire.

L'art de guérir n'est pas une science exacte : un traitement identique, curatif ou préventif, appliqué à plusieurs groupes d'individus malades ou sains, donne souvent des résultats paradoxaux, vu l'étonnante variété du vivant. Que ce soit pour comparer les effets de médicaments différents ou de placebos, pour déterminer un indice de masse corporelle idéal ou pour quantifier la fiabilité d'un test de dépistage, le recours aux raisonnements statistiques et probabilistes se révèle indispensable en médecine.

La multiplication des découvertes mathématiques conduit, à la fin du XIXe siècle, à la nécessité d’une structuration qui passe par une remise en cause des fondements. Les nombreux paradoxes construits dans le cadre des anciens systèmes théoriques amènent à repenser les définitions de différents concepts jusque-là perçus de manière intuitive, comme l’infini, les ensembles, les nombres… Les travaux d’Euclide ayant ouvert la voie d’une approche axiomatique, celle-ci se systématise au fil des xixe et xxe siècles avec les travaux de Cantor, Hilbert, Peano, Russell, Gödel parmi tant d’autres. Cette démarche est rendue possible par la formalisation de la logique, qui aboutit au traitement automatique des raisonnements ouvrant la voie à l’informatique moderne.

La capacité à mener de tête, en un instant, un calcul complexe est souvent associée à l’idée de « don pour les chiffres ». Il est vrai que certains calculateurs prodiges semblent dotés de cette qualité sans avoir reçu de formation particulière. Toutefois, il ne faut pas s’y tromper : hormis quelques cas aussi rares que fascinants, l’aptitude au calcul mental se développe avant tout par la pratique. Celle-ci produit d’autant plus de résultats qu’elle s’appuie sur une bonne connaissance des propriétés sous-jacentes des nombres, en général fondées sur un mélange d’algèbre et d’arithmétique.

De par leur caractère intemporel et universel, les mathématiques sont un sujet de choix pour la traduction. Des érudits, jonglant entre différentes langues, se sont évertués à mettre des textes savants à la disposition de tous dans la langue de culture, permettant parfois de sauver des œuvres fondamentales. Ainsi, l'histoire de la traduction des textes mathématiques compte des lieux emblématiques, comme Alexandrie, Bagdad ou Tolède et des vedettes comme Boèce, les frères Banou Mousa ou Adélard de Bath. Mais gare aux transcriptions imprécises : le plus petit écart par rapport au sens original peut ruiner toute l'entreprise. Comment, alors, traduire un terme technique, un concept nouveau ou une idée subtile dans une langue dont le vocabulaire n'est pas suffisamment adapté ? Certaines maladresses cocasses sont ainsi parvenues jusqu'à nous.

L’esprit agile de Pascal était tenu en ébullition par une curiosité insatiable. Son génie précoce s’exprime ainsi dans une étude des sons dont la bonne facture étonne pour son âge. Plus tard, il s’engage avec succès dans les débats sur l’existence du vide. Ne craignant aucun saut épistémologique, et non sans un certain goût pour la controverse, il prouve avec panache dans une expérience célèbre l’exactitude de ses raisonnements. Il n’hésite pas à « mettre la main à la pâte » pour concrétiser ses idées, comme dans la conception de sa machine à calculer, petite merveille d’horlogerie et de mécanique.

Si résumer l’œuvre multiforme de Cauchy est difficile, détailler les prolongements auxquels ses travaux ont donné lieu est impossible, tant son influence a été profonde. Le nom de Cauchy est absolument partout dans les mathématiques supérieures : critère de Cauchy, distribution de Cauchy, problème de Cauchy, inégalité de Cauchy-Schwarz, sans oublier bien sûr les divers théorèmes de Cauchy. Toutes ces dénominations témoignent d'un héritage qui a irrigué l’ensemble des mathématiques. Et s’il arrive que, songeant à l’un ou l’autre des grands personnages de son époque, les noms de Galois ou de Gauss viennent en premier à l’esprit, le baron Cauchy n’en est pas moins de ces rares mathématiciens de qui l’on peut dire que, dans tous les domaines, il y a un avant et un après lui.