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Comment parvenir à faire le tour de l’œuvre de l’un des mathématiciens les plus prolifiques de l’Histoire ? L’un des grands mérites de Cauchy est d’avoir fait entrer l’analyse dans sa vision moderne, clarifiant tout un pan des mathématiques qui avaient connu une grande expansion grâce, entre autres, aux Euler, Lagrange et Laplace. Mais Cauchy revivifia aussi de vénérables domaines tels que la théorie des polyèdres, et en créa de nouvelles comme l’analyse complexe. Il fut aussi l’un des premiers à explorer ce que nous appelons aujourd’hui la théorie des groupes. Aux côtés du Cauchy consolidateur vivait donc aussi un Cauchy explorateur, et c’est à ces deux facettes de sa personnalité scientifique que nous sommes également redevables aujourd’hui.

Les polygones sortent largement du cadre strict de la géométrie, avec des applications pratiques ou ludiques. On les retrouve, par exemple, en architecture, dans les plans de bâtiments, ou en arithmétique sous la forme de nombres dits polygonaux. Ils sont naturellement les tesselles de nombreux puzzles, dont le plus ancien d’entre eux, le Stomachion d’Archimède. Il revient à Bolyai, le grand-père de la géométrie non euclidienne, d’avoir prouvé que deux polygones de même aire peuvent avoir les mêmes pièces constitutives. Depuis, Dudeney et les Demaine, père et fils, ont ouvert un vaste champ de créations – et récréations – mathématiques avec les polygones articulés.

Vous croyez tout connaître des coniques ? Ce dossier s'emploie à vous surprendre. Changez de point de vue – au sens littéral – et la parabole ou le cercle familiers deviennent méconnaissables. Abandonnez la distance « à vol d'oiseau » du plan euclidien pour une autre métrique, et les coniques se transforment en créatures étranges que vous n'auriez pas imaginées. Dans le monde réel, architectes et ingénieurs ont su faire des coniques leurs alliées les plus fidèles, et les plus discrètes. Et dans le ciel, les trois lois de Kepler, socle sur lequel Newton a bâti la gravitation universelle, continuent de gouverner le mouvement des corps célestes. Les coniques, décidément, habitent partout.

L'activité d'une entreprise est plongée dans un environnement qui évolue régulièrement. Elle nécessite de plus en plus d'études fines autour de son fonctionnement technique ou commercial ainsi que des prévisions sur le devenir de chacune de ses activités. Les mathématiques sont aujourd'hui sollicitées pour mieux comprendre la nature des aléas qu'il est indispensable de prendre en compte pour anticiper l'avenir. Chacun savait que la finance, l'économie ou l'informatique avaient besoin d'une panoplie d'outils mathématiques performants, régulièrement élargie. On sait moins que de nombreux autres secteurs comme l'énergie ou même les jeux vidéo en sont demandeurs.

Dans nombre de domaines mathématiques, les inégalités jouent un rôle important. C’est le cas par exemple en probabilités, avec l’inégalité de Bienaymé‒Tchebychev, ou de tout ce qui relève de l’optimisation. Beaucoup de phénomènes physiques se modélisent eux aussi par des inégalités ; la thermodynamique nous en donne un exemple saisissant. En sciences économiques et sociales, l’étude des inégalités est un sujet central, qu’elles concernent la richesse, le travail, le logement, l’éducation…

De par ses propriétés, la tangente peut être interprétée de différentes manières : droite approximant une courbe, trajectoire d’un rayon lumineux, géodésique d’un espace particulier… Selon le point de vue adopté, la tangente considérée véhicule alors une caractéristique particulière du problème étudié. En physique, par exemple, on va se servir des propriétés focales des coniques pour expliquer un phénomène. En économie, les droites de budget vont aider à identifier les politiques d’investissement réalisables d’une entreprise. À tout problème, sa droite, qui bien souvent se trouve être une tangente !

Si le groupe est omniprésent dans les mathématiques « pures et dures », d’autres domaines s’en sont emparés, conscients des atouts que sa présence apportait : compréhension de phénomènes complexes, techniques nouvelles, unification des idées… sans compter l’attrait qu’une structure abstraite exerce sur notre pensée. En ethnologie, Claude Lévi-Strauss a utilisé les groupes pour modéliser des relations de parenté dans certaines populations. En cryptologie, l’« arithmétique de l’horloge » est présente pour toute opération de chiffrement ou déchiffrement. L’art n’est pas en reste, que ce soit en musique, littérature ou peinture. Les Barres de bois rond d’André Cadere restent emblématiques de la représentation artistique des groupes de permutations.

Henri Poincaré, référence incontournable tant au niveau scientifique que littéraire ou philosophique (il était membre de l'Académie des sciences mais aussi de l'Académie française), s'est engagé à de nombreuses reprises, persuadé que la rationalité ne doit rien céder devant les séductions de la démagogie. « Il préfère heurter par trop d'intransigeance que de courir le risque de plaire par la plus minime des concessions » comme le dira Émile Borel. La connaissance a pour Poincaré une fonction politique, elle doit permettre d'abolir toute forme d'obscurantisme. Il a combattu sur tous les fronts pour faire valoir les lumières du savoir. Il n'est donc pas étonnant de le retrouver au coeur de l'affaire Dreyfus, où son engagement a été déterminant pour « démonter » les thèses de l'accusation. Il s'est aussi impliqué pour défendre une vision scientifique et pragmatique de l'expédition géodésique en Amérique du Sud. Au-delà, il est l'un des premiers à réfléchir sur la psychologie de l'invention. L'influence de ses écrits sur les avant-gardes artistiques du XXe siècle est significative.

Quadrilatère oublié, parallélogramme méconnu, le losange est une figure quasi ignorée de la géométrie : ses propriétés mathématiques semblent bien maigres. Il conserve pourtant une part de mystère, que ce dossier vous aidera à lever. Déjà, l’origine du mot « losange » reste énigmatique. Ensuite, on peut se demander si tout losange possède un cercle inscrit, ou s’inscrit dans un cercle (réfléchissez-y un instant, ce ne sont pas des questions si évidentes !). Ou si l’on peut construire des polyèdres dont les faces sont des losanges. Enfin, tout comme il y a des « carrés magiques », il existe depuis peu un « losange magique » !

Bien que convaincu du fonctionnement déterministe de l’Univers, Laplace a notablement contribué au développement du calcul des probabilités, le faisant entrer dans le champ des mathématiques. On serait tenté d’y voir un paradoxe. Le savant s’intéresse en fait à des problèmes pratiques. Typiquement, comment choisir la valeur « la plus pertinente » parmi plusieurs mesures ? À partir de ses recherches, il échafaude une théorie qui conduit à la loi normale.