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La statistique publique est au cœur du quotidien avec son immense production de chiffres. Pourtant, elle est souvent confondue avec la statistique qui émane de la sphère privée, à l’instar des sondages sur les intentions de vote ou sur les priorités des Français. De fait, la statistique publique a une histoire, qui remonte à la pratique antique du dénombrement des forces vives des cités et des États qui ont besoin d’informations pour mieux se connaître et se gouverner. Avec la mise en place de collectes de grande ampleur et de bases de données cohérentes, les méthodes se sont affinées : développement des techniques de sondage, naissance de l’économétrie, tournant du big data…

Graphes et probabilités ne sont pas les seuls domaines des mathématiques auxquels les jeux de société font appel. La géométrie, et même la topologie, interviennent souvent quand il s’agit de placer des pièces de formes diverses sur un plateau. La combinatoire est aussi, bien sûr, la clé de nombreux jeux. Mais il ne faut pas oublier la théorie des nombres, qui permet souvent d’imaginer des modèles de relation entre certaines situations de jeu et des nombres qui leur sont associés.

Elles continuent, les fractions ! Fondamentalement cantonnées à l’ensemble des nombres rationnels, elles parviennent pourtant à s’en échapper lorsqu’on les laisse poursuivre à l’infini. En la matière, il existe de multiples façons de faire. L’une d’elles consiste à en ajouter encore et encore, pour s’approcher le plus en plus de nombres irrationnels comme π. Une seconde possibilité consiste à disposer les fractions dans un arbre binaire pour les obtenir toutes. Enfin, procédé majeur, des techniques algébriques ou arithmétiques permettent de constituer des fractions de fractions, qui se poursuivent à l’infini et définissent ainsi les fractions… continues.

Les modèles mathématiques utilisés en économie sont récents, mais leur place est devenue aujourd'hui prépondérante (même si nos décideurs ne font pas toujours l'effort d'essayer de les apprivoiser). Des applications et illustrations des principaux domaines mathématiques interfèrent quotidiennement avec les systèmes de décision et de gestion, les rendant de plus en plus efficients. En utilisant l'algèbre linéaire ou le calcul différentiel et intégral, l'économiste s'est vu forcé de devenir un grand utilisateur des mathématiques. À partir d'exemples concrets, les lecteurs de Tangente sont invités à appréhender ces concepts, pas toujours connus du grand public.

À tout seigneur, tout honneur : la géométrie est la première à profiter de l'introduction des nombres imaginaires. La représentation des complexes comme points du plan permet d'« encoder » adroitement une transformation, de « capturer » judicieusement le lieu d'un point qui se déplace. Homothéties, similitudes et autres inversions reçoivent ainsi une interprétation algébrique simple et deviennent aisément manipulables. Grâce à l'outil puissant des nombres complexes, des résultats de géométrie peuvent se démontrer, voire être découverts, comme le théorème de Marden. Des notions, comme celle des fractales, peuvent être mises en valeur.

Parce que nous évoluons dans un univers à trois dimensions, le représenter est devenu un enjeu technologique. D'autant qu'avec le volume est associée la représentation du mouvement. Sur nos écrans, le développement des outils de conception assistée par ordinateur répond, à l'origine, aux besoins d'une industrie qui cherche à dépasser le prototypage par maquette, trop coûteux en temps et en ressources. L'illusion du volume s'acquiert en étudiant les spécificités de notre système visuel, qui fonctionne à partir de signaux lumineux collectés par nos deux yeux écartés. Des écrans ou des lunettes adaptés sont nécessaires pour le reproduire, même si certains pensent qu'on pourra un jour obtenir ce leurre à partir d'une image plane. Mais la 3D ne se limite pas à l'illusion du volume. Elle se recrée physiquement avec l'essor des imprimantes 3D dont le procédé, fonctionnant plan par plan, voire ligne par ligne, n'est pas sans rappeler celui des scanners.

Les courbes ont de tout temps envahi le quotidien des hommes. D'abord les droites et les cercles, bien sûr, mais aussi les coniques, les spirales, les hélices, ou d'autres encore inspirées par la ligne d'un bâtiment, le tracé d'une piste ou la forme d'une cordelette. Pourtant, il est difficile d'en proposer des définitions rigoureuses. Il a fallu attendre la naissance de l'analyse pour disposer d'un outil permettant de les étudier. Issues d'équations paramétriques ou implicites, exprimées en coordonnées cartésiennes ou en coordonnées polaires, elles fascinent invariablement les scientifiques comme les amateurs de belle géométrie. Bienvenue au pays des courbes !

Un mathématicien prix Nobel de physique ! Le Nobel 2020, décerné à Sir Roger Penrose, Andrea Ghez et Reinhard Genzel, est l'occasion de revenir sur la belle histoire d'un savant hors du commun, passionné et enthousiaste, dont les travaux en topologie ont contribué à éclaircir notre connaissance des trous noirs. Sa formation en mathématiques pures s'est conclue avec une thèse de géométrie algébrique. Sa découverte ingénieuse de figures impossibles et de pavages apériodiques l'a fait connaître du grand public. L'établissement du premier théorème sur les singularités en relativité générale a conduit à la justification de l'existence des trous noirs. Sir Roger Penrose, généreux de son temps et de son énergie, livre dans ce numéro de Tangente une interview exclusive.

Tout en s’interdisant les outils traditionnels de l’écrit, le calcul mental peut s’enrichir d’objets qui permettent de fixer le déroulement d’une opération. Par exemple, plutôt que d’envisager un nombre à partir de son écriture décimale, certains calculateurs le visualisent plutôt en l’imaginant écrit sur un boulier. En jonglant intérieurement avec les boules du soroban plutôt qu’avec les chiffres habituels, ou bien en utilisant intelligemment le support des doigts, de nouveaux horizons s’ouvrent pour développer nos capacités calculatoires dans de nouvelles directions.

Savoir se repérer et se déplacer, sur la Terre comme sur les océans, est depuis des siècles une nécessité vitale, tant pour des raisons économiques que politiques ou militaires. Du bâton de Jacob, puis du sextant, au GPS, l’inventivité fut sans borne pour imaginer des procédés permettant d’y parvenir en s’appuyant, le plus souvent, sur les mathématiques. On pense à l’usage de la géométrie et de la trigonométrie, mais pas seulement. Pour élaborer ses cartes, Mercator, plus d’un siècle avant l’avènement du calcul intégral et des logarithmes, a conçu une transformation de la sphère terrestre vers le plan en conservant les angles.