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Appliquer les processus itératifs du passé pouvait s'avérer long et fastidieux. Avec l'avènement de l'informatique, de nouvelles voies se sont ouvertes. L'écriture de programmes récursifs, s'appelant eux-mêmes, permet de prouver plus facilement le bon fonctionnement d'un algorithme. D'un point de vue pratique, la récursivité offre une alternative élégante et souvent limpide aux boucles. L'écriture (courte) de ces programmes récursifs, alliée à une puissance de calcul croissante, ouvre des horizons dans la résolution de problèmes variés qui occupent encore les mathématiciens, en combinatoire, géométrie ou recherche opérationnelle. L'essor des fractales chères à Benoît Mandelbrot permet aussi à tout un chacun d'expérimenter aujourd'hui ce puissant concept d'une fonction qui s'appelle elle-même.

Était-il physicien ou mathématicien ? La vision d'Henri Poincaré va au-delà des cloisonnements, des limites, des frontières. Dominant toutes les sciences physiques de son époque, il enseigne aussi bien l'électricité que l'optique ou l'électrodynamique. C'est en s'intéressant aux courbes définies par des équations différentielles qu'il examine d'un oeil novateur le vieux problème de la stabilité du système solaire et donne naissance aux systèmes dynamiques, une théorie aux confins de l'analyse, de la topologie et de la mécanique céleste. Poincaré joue aussi un rôle déterminant dans l'étude de la vitesse de la lumière, la théorie électromagnétique de Maxwell et la mise en évidence du mouvement de la Terre dans l'éther. Avec Lorentz, il met au point le formalisme de la relativité restreinte, qu'Einstein reprendra.

N’ayez pas peur d’elles ! Derrière un formalisme parfois déroutant, les équations différentielles sont un domaine extrêmement puissant de l’analyse mathématique. Elles ont été rendues indispensables par le besoin de résoudre des problèmes concrets dans de nombreux secteurs où elles jouent un rôle fondamental. D’abord utilisées en géométrie et en physique, elles permettent aujourd’hui, dans la plupart des sciences et de nombreux secteurs de l’ingénierie, de modéliser des phénomènes faisant intervenir une variable continue. Et lorsqu’il est impossible d’en trouver une solution exacte, on peut déterminer une solution approximative à l’aide de schémas numériques ou d’ordinateurs.

Incontournables en géométrie comme en analyse, les racines carrées ont pourtant mis bien des siècles à s’imposer comme nombres à part entière en mathématiques. La difficulté à les évaluer n’a pas aidé à les faire accepter ! De fait, il faut souvent en calculer des valeurs approchées. Pour cela, quoi de mieux qu’un bon algorithme ? Vous connaissez sans aucun doute celui de Héron ou la méthode d’extraction goutte à goutte des chiffres, mais ce dossier vous aidera à comprendre enfin « pourquoi et comment ça marche » 

Extraire une racine, pour le célèbre savant Cosinus, c'est une séance de calcul… chez le dentiste. En maths, les méthodes d'extraction de racines carrées sont multiples : exactes ou approchées, à l'aide de suites ou de fonctions, d'une calculatrice – c'est devenu le réflexe moderne –, mais aussi à la main, comme à l'école pour les divisions, si ce n'est que c'est un peu plus compliqué. Ce sera l'occasion de découvrir une technique peu connue d'extraction manuelle de racine cubique ! On peut ensuite facilement généraliser aux racines complexes, grâce à Euler, toujours lui : leur définition, les polygones réguliers qu'elles permettent de dessiner, et ce qu'on appelle racines primitives avec le concept de polynôme cyclotomique.

Un calcul n’a pas toujours à être exact, donc un calcul mental non plus. Pour aller vite sans se perdre dans une précision inutile, on peut donc développer des techniques de calcul mental approché. Celles-ci ne se réduisent pas au simple remplacement occasionnel d’un nombre par un nombre plus simple. Des logarithmes aux racines carrées, une fois choisie la voie de l’à-peu-près, c’est tout un ensemble de techniques nouvelles qui peut se déployer pour permettre d’évaluer de tête le résultat de certains problèmes.

Mathématicien, homme politique engagé et membre influent de l’intelligentsia française, Émile Borel incarne à lui seul l’idéal de la « République des professeurs ». Du dreyfusisme à la Résistance, en passant par le Front populaire et les premières heures de la construction européenne, il aura mené de front recherche scientifique et combat civique, convaincu qu’une même rigueur rationnelle gouverne la science et la politique. Ses travaux sur la mesure et le hasard — notions dont la profondeur mathématique dépasse largement l’intuition — ont posé des fondations durables, de la théorie de Lebesgue aux nombres normaux. Ces derniers, dont l’écrivain Jorge Luis Borges semblait avoir pressenti l’étrangeté dans ses fictions, ouvrent encore aujourd’hui sur des horizons inattendus, de la théorie ergodique à l’informatique.

Trop peu connue des scientifiques, réduite à une simple traductrice de Newton ou à une vulgarisatrice de la philosophie des sciences allemandes, souvent même caractérisée uniquement comme la maîtresse de Voltaire, Émilie du Châtelet est en réalité une très grande savante, à la fois mathématicienne, physicienne et philosophe. Sa vie de femme savante dans un siècle misogyne fait qu’elle n’a pas toujours bénéficié d’une grande reconnaissance malgré ses travaux d’ampleur. Elle fut néanmoins élue à l’Académie de Bologne et ses Institutions de Physique furent une lecture obligatoire pour nombre de scientifiques, au point d’être régulièrement citées dans l’Encyclopédie. Place à une femme qui fut à la fois une grande scientifique mais aussi une femme libre et féministe !

La transmission externe des microbes ou des virus tout comme la propagation interne de cellules malignes se fait selon des algorithmes dont la modélisation est régie par une branche des mathématiques : celle des systèmes dynamiques. Associés à la théorie des probabilités, les modèles ainsi construits permettent non seulement de prévoir l'évolution des maladies, mais aussi de prendre des décisions, tant en matière de choix individuel de la thérapie qu'en matière de politique publique, par exemple d'isolation ou de vaccination.

Découverts par hasard au cours du xx e siècle, les flexagones sont des objets plats, en général en papier, qui, en se dépliant, présentent des faces cachées. Il en existe de différentes formes et de complexités diverses. Ces fascinants objets géométriques n’ont pas encore livré tous leurs secrets et de nombreuses propriétés restent à explorer. Ce dossier permettra au lecteur novice de se lancer en « flexologie » en construisant ses premiers flexagones à manipuler. Pour les autres, la découverte de quelques exemples de flexaèdres sera l’occasion de s’interroger sur les propriétés de rigidité des polyèdres.