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Paul Erdős a résolu de nombreux problèmes dans tous les domaines, mais sa passion première est très certainement la théorie des nombres. Il consacre ainsi de nombreux travaux aux nombres premiers. Si la plupart de ses résultats, assez pointus, sont difficiles à vulgariser, certains restent néanmoins accessibles, au moins dans leur formulation. C’est le cas, par exemple, en géométrie, des problèmes de distances définies par un ensemble de points, du découpage du carré en carrés de tailles différentes ou du nombre de droites passant par des points donnés.

Les mathématiques arabo-musulmanes revêtent une importance particulière pour leur héritage : les traductions latines qui en ont été faites ont permis à l’Occident de redécouvrir des textes antiques mais aussi et surtout de bénéficier des avancées réalisées par les savants des pays d’Islam. Parfois, ces traductions latines ont permis de conserver le cœur de certains textes arabes dont l’original est aujourd’hui perdu. Il ne faudrait néanmoins pas négliger les développements mathématiques après ce que l’on caractérise souvent comme l’« âge d’or » de la science arabe, qui continuent de se nourrir de fascinants échanges culturels.

Le monde de l'économie est fluctuant, mouvant, parfois imprévisible. Il doit s'adapter en permanence à l'évolution de nos sociétés et au comportement des citoyens. Il n'y a donc rien de surprenant que méthodes statistiques, modèles probabilistes et outils de l'analyse stochastique y soient de plus en plus présents. Les données sont confrontées à la réalité, à la matérialité des faits, mesurées à l'aide de sondages, d'expérimentations sur le terrain, de tests… Ainsi, dans les plans de production et de gestion des entreprises, l'étude structurée des résultats passés débouche sur la construction élaborée de modèles prévisionnels minimisant les risques et optimisant la pérennité des activités.

Il est difficile d’imaginer l’algèbre sans la théorie des groupes. Pourtant, ce n’est qu’à partir du début du XIXe siècle que la notion se développe, présente implicitement dans les travaux de Lagrange, puis introduite par Galois. D’abord limitée aux seuls groupes des permutations d’un ensemble, la notion s’est peu à peu imposée dans tous les domaines des mathématiques pour étudier non plus seulement les objets, mais aussi les relations entre eux. La définition formelle d’un groupe n’apparaît qu’à la fin du XIXe siècle. Se développent alors quantité d’outils pour utiliser, répertorier, construire les nombreux exemples de cette structure unificatrice qui déferle sur les mathématiques… et toutes les sciences. Graal ultime, le théorème de classification des groupes finis simples connaît encore des répercussions aujourd’hui.

«Mathématicien maudit », « génie romantique », « le Rimbaud des mathématiques », « le Mozart de l’algèbre », « esprit incompris »… Ce ne sont pas les expressions qui manquent pour qualifier la courte vie d’Évariste Galois, jeune mathématicien mort à 20 ans dans un duel obscur. Le mystère autour de certains passages de sa vie, tout comme la profondeur de ses idées, ajoutent à la légende d’une icône dont on est loin d’avoir cerné la personnalité et la postérité scientifique !

Mathématicien sans doute exceptionnel, Erdős a eu une vie qu’on peut certainement qualifier d’« originale », tout entière dédiée aux problèmes mathématiques. En déplacement permanent, de ville en ville, de congrès en séminaire, une valise à la main et un théorème dans chaque maison, il a ainsi établi de très nombreuses collaborations. Son comportement atypique a donné lieu à beaucoup d’anecdotes, pas toujours authentiques. Gérald Tenenbaum, qui a fait partie de ses coauteurs, témoigne d’une expérience parfois déconcertante mais toujours plaisante et enrichissante.

Henri Poincaré revisite à sa manière chacun des domaines mathématiques qu'il choisit d'investiguer. Il préfère penser par lui-même, redécouvrir les résultats majeurs, mettre l'accent sur l'étude qualitative des solutions des équations différentielles. En cela, il fait un choix novateur qui lui permet d'ouvrir de vastes horizons scientifiques, ou d'en renouveler avec créativité, comme les géométries non euclidiennes. Il accumule ainsi des découvertes originales dont résulte une grande et rapide notoriété et incarne l'interaction des multiples domaines mathématiques. Faisant dialoguer topologie et géométrie, il ouvre des voies qui, des décennies après sa mort, sont toujours fécondes.

Hypatie ne laisse son nom à aucun texte alors qu’elle est certainement l’autrice de nombreux passages d’ouvrages savants. Émilie du Châtelet est une femme qui veut vivre pleinement sans avoir à choisir entre l'amour et la science. Mary Somerville connaît un premier mariage avec un homme qui n’a aucune estime pour les capacités intellectuelles de son sexe. Sofia Kovalevskaïa ne rêve que de poésie. En plongeant dans l’intimité de la vie aux multiples facettes des mathématiciennes, on perçoit les mille et une façons dont elles y intègrent les mathématiques.

Moins célèbre que l'ellipse ou la parabole, l'hyperbole mérite qu'on s'y attarde. Après en avoir posé les définitions, ce dossier part à la découverte de ses richesses cachées. Remplacez le cercle trigonométrique par une hyperbole : sinus et cosinus se métamorphosent en de nouveaux objets, aussi élégants qu'inattendus. Faites-la tourner autour de son axe : l'hyperboloïde de révolution qui en résulte fascine architectes et ingénieurs par ses propriétés structurelles hors du commun. Et last but not least : là où la règle et le compas échouent — trisection de l'angle, construction de l'heptagone régulier — l'hyperbole, elle, y parvient.

Nécessité fait loi, dit-on, et en mathématiques tel est en effet souvent le cas. Même lorsqu'une idée paraît aberrante, si elle se montre utile alors elle finit par trouver sa place. Le nombre i, ce « nombre dont le carré vaut −1 » que la règle des signes interdit d'exister, est du lot. Certains résultats obtenus avec lui étaient douteux voire incohérents. Surtout, on ne parvenait pas à s'en faire une représentation concrète. Ses initiateurs tels que Bombelli, à la Renaissance italienne, étaient sans doute loin d'imaginer que la bizarrerie calculatoire qu'ils utilisaient avec méfiance serait un jour élevée au rang de constante fondamentale de l'algèbre.