Si des cas particuliers de l’inégalité de Cauchy‒Schwarz, ou tout simplement de Cauchy, ou de Schwarz, ou encore de Bouniakowsky, ont été utilisés depuis longtemps dans des démonstrations mathématiques, sa première formulation, accompagnée d’une démonstration, la considérant ainsi comme un résultat d’intérêt en lui-même, est l’œuvre de Cauchy.
Cauchy et l’inégalité numérique
Augustin-Louis Cauchy s’empare le premier du sujet dans la note 2 de son Analyse géométrique, qui reprend son cours dispensé à l’École polytechnique et qui est publié en 1821. La note s’intitule Sur les formules qui résultent de l’emploi du signe > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités.
Après l’énoncé de nombreuses inégalités évidentes ou classiques, le quinzième théorème affirme :
Soient a, a′, a″… des quantités quelconques, en nombre n. Si ces quantités ne sont pas toutes égales entre elles, la valeur numérique de la somme a + a′ + a″+… sera inférieure au produit de sorte que l’on aura :
