Imparare a calcolare con la calcolatrice | Tangente

Quando si impara a calcolare, si comincia sempre dall’addizione. È infatti l’operazione più elementare. Ci serve per rappresentare i numeri naturali: 4 è 3 + 1, 2 + 1 + 1 oppure 1 + 1 + 1 + 1. Proprio questa rappresentazione permette di comprendere il primo metodo di addizione che si impara a scuola. Così, per sommare due numeri naturali A e B, basta prendere A e aggiungervi B volte il numero 1. È il metodo usato quando si «conta sulle dita». Quando si iniziano a concepire numeri più grandi, questo metodo diventa difficile da usare e se ne impara quindi un secondo. Per sommare due grandi numeri naturali A e B, si aggiungono dapprima le cifre delle unità, poi quelle delle decine e così via, usando un «riporto» quando il risultato ha più di due cifre. In realtà, qui si usano le proprietà associativa e commutativa dell’addizione, nonché la scomposizione di un numero in potenze di 10. Per esempio, 59 + 125 = (5 × 10 + 9 × 1) + (1 × 100 + 2 × 10 + 5 × 1) = (9 × 1 + 5 × 1) + (5 × 10 + 2 × 10) + 1 × 100. Ma non enunceremmo queste proprietà formali per spiegare a un bambino come impostare un’addizione.

Due metodi alla prova -----------------------------

Se chiedete a un amico di eseguire il calcolo 23 + 126, potete star certi che imposterà l’addizione e non userà il primo metodo. È chiaro che se a e b sono «abbastanza grandi», il secondo metodo sarà molto più rapido del primo. Ma per una macchina, un computer o una calcolatrice vale lo stesso? Vi proponiamo di verificare che sia così, programmando questi due metodi in linguaggio Python con la calcolatrice Graph 90+E. Nel seguito considereremo dunque due numeri naturali A e B tali che A ≤ B.

**La calcolatrice Graph 90+E. Dal 31 agosto 2018, un aggiornamento disponibile gratuitamente sul sito www.casio-education.fr permette di integrarvi il nuovo menu di programmazione in linguaggio Python**

Per sommare i nostri due numeri, prendiamo il maggiore, qui B, e vi aggiungiamo il numero intero 1, ripetendo l’operazione A volte (per effettuare il minor numero possibile di iterazioni). Per calcolare 3 + 12, si calcolano successivamente 12 + 1 = 13, 13 + 1 = 14, 14 + 1 = 15. Quindi 3 + 12 = 15. In Python si ottiene:

In quanto lettori di Tangente, sapete naturalmente eseguire senza difficoltà un’addizione in colonna con riporto. Ma se vi chiedessero di spiegare a un bambino come fare, come procedereste? Cominciamo con un esempio. Per calcolare 127 + 59, nel dettaglio si procede così:

Qui non consideriamo più le cifre come numeri, bensì come simboli, e applichiamo il metodo seguente: Per sommare A e B, si aggiungono anzitutto ad A tanti 0 quanti sono necessari affinché i due numeri abbiano «la stessa dimensione», cioè lo stesso numero di cifre); Si sommano poi, a due a due, le cifre dei due numeri cominciando da destra (usando il metodo 1), e si aggiunge il riporto, se presente; Si scrive la cifra più a destra del risultato; Se il risultato ha più di due cifre, si scrive un nuovo riporto; Si passa infine alle cifre adiacenti; Quando non restano più cifre, si controlla se vi sia ancora un riporto. In tal caso, si scrive 1 davanti al risultato; altrimenti non si fa nulla; Si ottiene così il risultato finale.

Cerchiamo di formalizzare questo secondo metodo. Consideriamo A = a_n…a₁a₀ e

B = b_m…b₁b₀ scritti in forma decimale, ossia tali che a₀, a₁… a_n, e b₀, b₁… b_m siano rispettivamente le cifre, comprese tra 0 e 9, di A e B. Per ipotesi, A ha meno cifre (in senso lato) di B. Si comincia aggiungendo 0 a sinistra di A, in modo che i due numeri abbiano lo stesso numero di cifre; A diventa 00…0a_n…a₁a₀. Per i che va da 0 a m, poniamo d_i uguale alla cifra delle unità del risultato dell’addizione *a_i + b*_i (ossia al resto della divisione euclidea di a_i + b_i per 10). Si ha allora C = c_m+1c_m…c₀, uguale alla somma di A e B, dove: •c₀ = d₀; • c_i = d_i + r per i che va da 0 a m, con r il riporto dell’operazione precedente (il quoziente della divisione euclidea di a_i–1 + b_i–1 per 10); • c_m+1 = r è l’ultimo riporto.

Per questo secondo metodo, proveremo a programmare l’addizione come la si insegnerebbe a un bambino, senza usare la divisione euclidea. Per scrivere il programma corrispondente, iniziamo trasformando i nostri numeri in stringhe di caratteri (string) con l’istruzione str. Inizializziamo il riporto a 0 e creiamo una stringa vuota C. Con un primo ciclo for, aggiungiamo il numero di 0 necessario all’inizio del numero con meno cifre, qui A, affinché i due interi abbiano la stessa dimensione m. Il ciclo su A[–j–1], B[–j–1] ci permette di percorrere i due numeri da destra a sinistra (nome_stringa[–1] restituisce l’ultimo carattere della stringa). Sommiamo a due a due le cifre di ciascun intero usando il metodo precedente. Prima, però, dobbiamo considerarle di nuovo come numeri e non come caratteri! A tale scopo usiamo la funzione int. A questo risultato aggiungiamo il riporto precedente. Controlliamo se il risultato è scritto con più di due cifre. In tal caso, inseriamo un riporto. Poi anteponiamo questo nuovo risultato a C. Infine, concateniamo l’ultimo riporto alla stringa C e trasformiamo questa stringa in numero grazie all’istruzione int. In linguaggio Python si ottiene:

La lepre e la tartaruga? -------------------------

Non resta che verificare la velocità di calcolo con i due metodi presentati! A questo scopo, definiamo una funzione test che, data una funzione fct di due argomenti A e B, calcola n volte la quantità fct(A, B), dove n è un numero intero abbastanza grande (qui, n = 1 000) da far emergere un fenomeno. In Python si ottiene:

Sta a voi effettuare qualche test scaricando il programma «Velocità di calcolo» dal sito www.casio-education.fr/, nelle risorse CASIO! Potete per esempio svolgere i seguenti esperimenti con la Graph 90+E o con il vostro ambiente di sviluppo Python preferito: test(add1, 919, 223, 1000) ; test(add2, 919, 223, 1000); test(add1, 23, 126, 1000) ; test(add2, 23, 126, 1000). Rischiate di avere qualche sorpresa!