L’albero che nasconde la foresta

Alberi per le nozioni di probabilità… ------------------------------------------

Un gioco da fiera consiste nello scegliere a caso una scatola tra tre dall’aspetto identico. Esse contengono rispettivamente tre, due e un solo gettone, tutti argentati tranne uno dorato in ciascuna scatola.

La costruzione dell’albero delle probabilità mette in evidenza, rappresentandola, la nozione di probabilità condizionata e ne facilita la comprensione. Per due eventi A e B, si ha P(A e B) = P(A)×P_A(B), dove P_A(B) è la probabilità di B sapendo che si è verificato A. Nell’esempio, la probabilità dell’esito «scatola con tre gettoni e gettone dorato» vale proprio (1/3)×(1/3).

Se si vuole calcolare la probabilità di ottenere un gettone dorato, si ha

P(«gettone dorato») = ${\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times 1={\displaystyle \frac{11}{18}}\mathrm{.}\backslash dfrac\{1\}\{3\}\; \backslash times\; \backslash dfrac\{1\}\{3\}\; +\; \backslash dfrac\{1\}\{3\}\; \backslash times\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}\; +\; \backslash dfrac\{1\}\{3\}\; \backslash times\; 1\; =\; \backslash dfrac\{11\}\{18\}.$

A questo punto possiamo affrontare una domanda come: sapendo che il gettone è dorato, qual è la probabilità che provenga dalla scatola contenente due gettoni? Possiamo allora abbozzare un nuovo albero, invertito rispetto al precedente.

La probabilità condizionata x cercata è allora $({\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{/}{\displaystyle \frac{18}{11}},\backslash left(\; \backslash dfrac\{1\}\{3\}\; \backslash times\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash right)\; /\; \backslash dfrac\{18\}\{11\},$ ossia 3/11.

Rappresentandola, l’albero delle probabilità contribuisce a introdurre la formula di Bayes. È uno strumento didattico.

Per esempio, qui, con due eventi A e B, la formula sarebbe semplicemente ${\text{P}}_{\text{B}}(\text{A})={\displaystyle \frac{{\text{P}}_{\text{A}}(\text{B})\text{P}(\text{B})}{{\text{P}}_{\text{A}}(\text{B})\text{P}(\text{A})+{\text{P}}_{\bar{\text{A}}}(\text{B})\text{P}(\bar{\text{A}})}}\backslash text\{P\}\_\{\backslash text\{B\}\}\; (\backslash text\{A\})\; =\; \backslash dfrac\{\backslash text\{P\}\_\{\backslash text\{A\}\}\; (\backslash text\{B\})\; \backslash text\{P\}\; (\backslash text\{B\})\; \}\; \{\backslash text\{P\}\_\{\backslash text\{A\}\}\; (\backslash text\{B\})\; \backslash text\{P\}(\backslash text\{A\})\; +\; \backslash text\{P\}\_\{\backslash overline\{\backslash text\{A\}\}\}\; (\backslash text\{B\})\; \backslash text\{P\}(\backslash overline\{\backslash text\{A\}\})\; \}$, dove $\bar{\text{A}}\backslash overline\{\backslash text\{A\}\}$ indica l’evento complementare di A.

• Dalla statistica alle probabilità. Bernard Parzysz, Repères IREM 10, gennaio 1993.

• I grafi. Bibliothèque Tangente 54, 2015.

… e per contare -------------------

La rappresentazione ad albero di situazioni in cui si ripetono o si susseguono delle prove permette di evidenziare il principio moltiplicativo del conteggio degli esiti. Prendiamo il clown Marcello. Ha tre cilindri di colori diversi, cinque giacche anch’esse di colori diversi, un paio di pantaloni a tinta unita, un altro a righe, un paio di pantaloncini e un paio di scarpe (decisamente troppo grandi). Quanti costumi di scena può comporre, se trascura gli abbinamenti?

Disegniamo un albero, da sinistra a destra: un livello per il cilindro (tre rami), uno per le giacche (cinque rami per ciascun nodo del livello precedente), uno per i pantaloni. Evidentemente, il numero di costumi è 3×5×3, cioè 45.

Prove ripetute -------------------------

Nella ripetizione di una stessa prova a due esiti (testa o croce), l’evoluzione delle possibilità è raffigurata da un albero che, a ogni ripetizione, presenta due rami, uno per ciascun risultato: P per testa (verso l’alto), F per croce (verso il basso). Con due prove, si vede che ci sono esattamente 2 × 2 = 4 esiti. Con n prove, ce ne sono 2 *ⁿ*.

Tra questi esiti, osserviamo il numero di quelli che presentano un dato numero di teste. Con due prove, si possono ottenere due P, un solo P oppure due F, con una doppia possibilità di realizzazione nel caso intermedio.

Nella ripetizione di n prove, il numero di esiti (di cammini sull’albero) che presentano un numero di P pari a k è uguale a $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right),\backslash begin\{pmatrix\}\; n\; \backslash \backslash \backslash \; k\; \backslash end\{pmatrix\},$ con k che varia da 0 a n; è il numero di cammini con k rami diretti verso l’alto. Poiché il numero totale di esiti è 2 *ⁿ *ed è anche la somma dei termini $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right),\backslash begin\{pmatrix\}\; n\; \backslash \backslash \backslash \; k\; \backslash end\{pmatrix\},$ si ha necessariamente $\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)+\dots +\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)=2^n\mathrm{.}\backslash begin\{pmatrix\}\; n\backslash \backslash \backslash \; 0\; \backslash end\{pmatrix\}\; +\; \backslash begin\{pmatrix\}\; n\backslash \backslash \backslash \; 1\; \backslash end\{pmatrix\}\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash begin\{pmatrix\}\; n\backslash \backslash \backslash \; n\; \backslash end\{pmatrix\}\; =\; 2^n.$

Analogamente, $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ n-k\end{array}\right)\backslash begin\{pmatrix\}\; n\backslash \backslash \backslash \; k\; \backslash end\{pmatrix\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; n\backslash \backslash \backslash \; n-k\; \backslash end\{pmatrix\}$ per simmetria dell’albero.

• Dossier «Le scommesse». Tangente 136, 2010.

• Dossier «La matematica delle scommesse». Tangente 175, 2017.

• Dossier «Il triangolo di Pascal». Tangente 176, 2017.