El árbol que no deja ver el bosque

Árboles para las nociones de probabilidad… ------------------------------------------

Un juego de feria consiste en elegir al azar una de tres cajas de aspecto idéntico. Estas contienen, respectivamente, tres, dos y una sola ficha, todas plateadas salvo una por caja, que es dorada.

El árbol de probabilidades permite visualizar la noción de probabilidad condicional y comprender mejor su definición. Para dos sucesos A y B, se tiene P(A y B) = P(A)×P_A(B), donde P_A(B) es la probabilidad de B dado A. En el ejemplo, la probabilidad del suceso «caja con tres fichas y ficha dorada» es (1/3)×(1/3).

Si queremos calcular la probabilidad de obtener una ficha dorada, obtenemos

P(«ficha dorada») = ${\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times 1={\displaystyle \frac{11}{18}}\mathrm{.}\backslash dfrac\{1\}\{3\}\; \backslash times\; \backslash dfrac\{1\}\{3\}\; +\; \backslash dfrac\{1\}\{3\}\; \backslash times\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}\; +\; \backslash dfrac\{1\}\{3\}\; \backslash times\; 1\; =\; \backslash dfrac\{11\}\{18\}.$

Podemos entonces abordar una pregunta como esta: sabiendo que la ficha es dorada, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la caja que contiene dos fichas? Podemos esbozar un nuevo árbol, invertido con respecto al anterior.

La probabilidad condicional x buscada es entonces $({\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{/}{\displaystyle \frac{18}{11}},\backslash left(\; \backslash dfrac\{1\}\{3\}\; \backslash times\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash right)\; /\; \backslash dfrac\{18\}\{11\},$ es decir, 3/11.

La representación mediante un árbol de probabilidades contribuye a introducir la fórmula de Bayes. Es una herramienta pedagógica.

Por ejemplo, aquí, con dos sucesos A y B, la fórmula sería simplemente ${\text{P}}_{\text{B}}(\text{A})={\displaystyle \frac{{\text{P}}_{\text{A}}(\text{B})\text{P}(\text{B})}{{\text{P}}_{\text{A}}(\text{B})\text{P}(\text{A})+{\text{P}}_{\bar{\text{A}}}(\text{B})\text{P}(\bar{\text{A}})}}\backslash text\{P\}\_\{\backslash text\{B\}\}\; (\backslash text\{A\})\; =\; \backslash dfrac\{\backslash text\{P\}\_\{\backslash text\{A\}\}\; (\backslash text\{B\})\; \backslash text\{P\}\; (\backslash text\{B\})\; \}\; \{\backslash text\{P\}\_\{\backslash text\{A\}\}\; (\backslash text\{B\})\; \backslash text\{P\}(\backslash text\{A\})\; +\; \backslash text\{P\}\_\{\backslash overline\{\backslash text\{A\}\}\}\; (\backslash text\{B\})\; \backslash text\{P\}(\backslash overline\{\backslash text\{A\}\})\; \}$, donde $\bar{\text{A}}\backslash overline\{\backslash text\{A\}\}$ designa el suceso contrario de A.

• De la estadística a las probabilidades. Bernard Parzysz, Repères IREM 10, enero de 1993.

• Los grafos. Bibliothèque Tangente 54, 2015.

… y para contar -------------------

La representación mediante un árbol de situaciones de experimentos repetidos o sucesivos permite poner de relieve el carácter multiplicativo ligado al recuento de sus resultados. Pensemos en el payaso Marcello. Tiene tres sombreros de copa de distinto color, cinco chaquetas también de distinto color, un pantalón liso, otro de rayas, un pantalón corto y un par de zapatos (demasiado grandes). ¿Cuántos atuendos para el espectáculo puede formar si no tiene en cuenta las combinaciones de prendas?

Dibujamos un árbol, de izquierda a derecha: un nivel para el sombrero de copa (tres ramas), otro para las chaquetas (cinco ramas desde cada extremo del nivel anterior) y otro para los pantalones. Es evidente que el número de atuendos es 3×5×3, es decir, 45.

Pruebas repetidas -------------------------

Al repetir una misma prueba con dos resultados posibles (cara o cruz), la evolución de las posibilidades se representa mediante un árbol que, en cada repetición, tiene dos ramas hacia cada resultado: C para cara (hacia arriba), X para cruz (hacia abajo). Con dos pruebas, vemos que hay exactamente 2 × 2 = 4 resultados posibles. Con n pruebas, hay 2 *ⁿ*.

De entre estos resultados, observemos cuántos contienen un número fijo de caras. Con dos pruebas, podemos obtener dos C, una C o dos X, y el caso intermedio puede realizarse de dos maneras.

Al repetir n veces un experimento, el número de resultados posibles (caminos en el árbol) que contienen k caras es igual a $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right),\backslash begin\{pmatrix\}\; n\; \backslash \backslash \backslash \; k\; \backslash end\{pmatrix\},$ con k entre 0 y n; es el número de caminos que tienen k ramas «ascendentes». Como el número total de resultados posibles es 2 *ⁿ *y también es la suma de los $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right),\backslash begin\{pmatrix\}\; n\; \backslash \backslash \backslash \; k\; \backslash end\{pmatrix\},$ tenemos necesariamente $\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)+\dots +\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)=2^n\mathrm{.}\backslash begin\{pmatrix\}\; n\backslash \backslash \backslash \; 0\; \backslash end\{pmatrix\}\; +\; \backslash begin\{pmatrix\}\; n\backslash \backslash \backslash \; 1\; \backslash end\{pmatrix\}\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash begin\{pmatrix\}\; n\backslash \backslash \backslash \; n\; \backslash end\{pmatrix\}\; =\; 2^n.$

Asimismo, se tiene $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ n-k\end{array}\right)\backslash begin\{pmatrix\}\; n\backslash \backslash \backslash \; k\; \backslash end\{pmatrix\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; n\backslash \backslash \backslash \; n-k\; \backslash end\{pmatrix\}$ por simetría del árbol.

• Dossier «Las apuestas». Tangente 136, 2010.

• Dossier «Las matemáticas de las apuestas». Tangente 175, 2017.

• Dossier «El triángulo de Pascal». Tangente 176, 2017.