Maths pour tous
Contenus mathématiques accessibles à tous
Les groupes de Lie
Les groupes introduits par le mathématicien Sophus Lie sont devenus des outils incontournables en physique théorique.
PodcastLe programme d'Erlangen
À l'occasion de sa nomination comme professeur à l'université d'Erlangen, en 1872, Felix Klein, âgé de 23 ans seulement, présenta un programme de recherche en géométrie connu depuis sous le nom de « Programme d'Erlangen ». Au cœur de ce programme figure la notion de groupe.
PodcastLe groupe de Klein et ses avatars
Quand on commence à manipuler les groupes, on dresse patiemment la table de ceux qui comportent peu d'éléments. Le groupe à un élément est réduit à l'élément neutre, donc est unique. De même, ceux à deux et trois éléments sont déterminés sans ambiguïté. Les surprises commencent avec quatre éléments...
Le groupe des fondateurs : Galois, Cayley, Jordan | Tangente
La notion de groupe n'est pas apparue comme cela, du jour au lendemain. Comme de nombreux concepts mathématiques, il a fallu du temps, beaucoup de temps pour faire émerger l'idée, aussi « élémentaire » soit-elle, et faire apparaître les définitions… qui nous semblent si évidentes maintenant.
PodcastLes groupes, une question de relations
La notion de groupe, apparue au début du XIXe siècle pour la résolution des équations polynomiales, s'est très vite étendue à d'autres domaines, y compris hors des mathématiques : elle permet de s'intéresser aux relations entre les objets plutôt qu'aux objets eux-mêmes.
Dans les programmes scolaires
La période dite "des maths modernes" évoque de nombreux souvenirs, certains plaisants, d'autres, nettement moins. Mais faut-il pour autant jeter le bébé avec l'eau du bain ?
PodcastDes transformations géométriques en groupes
Abstraite et purement algébrique, la notion de groupe ? Pas du tout! En géométrie, elle permet de ne pas se laisser submerger par la profusion et la diversité apparentes des transformations, ou encore d'appréhender les différents types de symétrie que l'on peut rencontrer.
Le Monstre : le plus grand groupe sporadique | Tangente
Le monstre est un groupe qui possède un nombre d'éléments supérieur au nombre d'atomes sur Terre. Faisons connaissance...
PodcastLes premières formalisations
La mort tragique d'Évariste Galois a donné un caractère épique à l'introduction du concept de groupe en mathématiques. Moins connue, la suite est pourtant passionnante, avec à la clé de brillants théorèmes toujours enseignés aujourd'hui. Soixante ans plus tard, la notion de groupe était enfin établie.
PodcastLa classification des groupes finis simples
Simples, les groupes finis ? Cela reste à voir : la classification des groupes finis simples, démarrée il y a plus de cent ans, se poursuit encore aujourd'hui ? par la rédaction d'une démonstration complète ! Celle-ci, commencée à la fin des années 1980, devrait être achevée en 2025. Mais la tâche est ardue ?
PodcastDes symétries qui laissent les objets invariants
En géométrie, quoi de plus naturel de rechercher pour tout objet les transformations qui le laissent inchangé ? Ce faisant, on doit décortiquer ces transformations, identifier les symétries de l'objet, et ô surprise, on trouve tout naturellement des groupes...
PodcastLe groupe de Rubik : les maths du cube magique | Tangente
Le Rubik's Cube est un casse-tête très célèbre, chez les petits comme chez les grands. Cet objet a, lui aussi, son groupe : c'est l'ensemble des isométries qui le laissent invariant.
PodcastLes groupes mathématiques même en littérature | Tangente
L'utilisation des structures formelles, en particulier des groupes, est l'un des centres d'intérêt des plus présents dans la littérature à contrainte issue de l'Ouvroir de littérature potentielle (Oulipo), mouvement littéraire créé par Raymond Queneau et François le Lionnais en 1960.
PodcastLes structures quotients
L'analyse fine de la structure interne des groupes finis est d'une redoutable difficulté. Que peut-on dire d'un groupe quelconque ? L'idée est de rechercher des sous-groupes, au sein de G, qui vont permettre de reconstituer G en entier. Pour ce faire, les structures quotients sont d'une efficacité imparable.
PodcastQuelques exemples de groupes
Les premiers exemples de groupes qui viennent à l'esprit sont les groupes de nombres. Mais on en trouve dans tous les domaines.
PodcastL'apport génial de Galois
Après ses travaux sur la recherche des solutions d'une équation du quatrième degré, Lagrange s'est posé la question pour le cinquième degré. Il faut attendre Abel pour savoir que ces équations ne sont pas résolubles par radicaux. Galois donnera une condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation de degré quelconque le soit. Ce faisant, il fonde la théorie des groupes.
PodcastPremier pas vers le concept de groupe
Joseph-Louis Lagrange s'est intéressé, dès 1770, à la résolution des équations polynomiales. Il voulait savoir pourquoi les équations de degré 3 et celles de degré 4 étaient résolubles par radicaux. Ce faisant, il s'est intéressé aux permutations sur les racines de ces équations.
PodcastDébusquer les groupes dans la collection Tangente | Tangente
Pour approfondir le sujet...
Sortir d'un labyrinthe grâce aux mathématiques | Tangente
Où il est question de labyrinthes ? vus non sous l'angle de la topologie, mais de l'arithmétique !
Concours machine de Turing : le gagnant à 14 ans | Tangente
Un jeune lecteur de Tangente a remporté la machine de Turing mise en jeu par la société thaM thaM.