Savoirs
Articles de fond sur les connaissances et théories mathématiques
Mélanger un jeu de carte infini
Mélanger un jeu de cinquante-deux cartes, c'est assez facile. Mais imaginons un paquet infini de cartes ; est-il toujours possible de le « mélanger » ? La réponse est qu'il ne tient qu'à vous d'en décider ! Bienvenue dans l'univers des paradoxes qui jouent avec l'infini…
Des maths au service de l'animation vidéo
Les oeuvres numériques en trois dimensions, telles que les jeux vidéo et les films d'animation, utilisent sans surprise les mathématiques pour nous immerger dans leur monde. Les angles, l'algèbre linéaire, les vecteurs et les matrices sont particulièrement mis à contribution.
PodcastQuand les polyèdres vont deux par deux
En échangeant les faces et les sommets d'un polyèdre, on en obtient un nouveau, que l'on peut obtenir par des constructions géométriques élémentaires. Ce phénomène prouve, une nouvelle fois, le lien étroit entre l'arithmétique et la géométrie.
Polémique mathématique autour de la dualité | Tangente
Le mot « dualité » provient du bas latin dualités, qui avait évincé le terme classique duales, qui qualifiait ce qui est associé à deux (duo dans la langue de Cicéron).
L'échangisme en géométrie
La dualité est présente dans de nombreuses branches des mathématiques, et ce depuis l'Antiquité avec les solides platoniciens. Elle se déploie en géométrie projective au début du XIXe siècle, puis apparaît peu après en logique avec George Boole et August De Morgan, avant de s'épanouir en algèbre linéaire.
PodcastMultiplions en temps quasi linéaire !
L'information est tombée fin mars : les mathématiciens David Harvey et Joris van der Hoeven ont montré que la multiplication de grands entiers est « quasi linéaire », une conjecture qui tenait depuis 1971 et l'intuition de Volker Strassen. Revisitons l'une des opérations de base de l'arithmétique !
Et si notre univers était un hologramme ? | Tangente
Notre univers pourrait être une sphère dont l'extérieur ressemblerait à un trou noir. Notre monde ne serait que le reflet d'une réalité inscrite sur la surface de cette sphère, une sorte d'hologramme. Toute l'information serait codée sur notre horizon cosmique. Un scénario pas si délirant…
Le chat d'Erwin Schrödinger
En un siècle d'existence, la physique quantique, d'une efficacité redoutable, n'a jamais été mise en défaut. De nombreuses difficultés subsistent néanmoins quant à son interprétation. Un cas emblématique de son étrangeté est une célèbre expérience de pensée féline.
Les mathématiques de la physique
Le recours aux modèles mathématiques nous permet une compréhension et une maîtrise de l'univers. Mais jusqu'où peut aller cette maîtrise ? Quelles sont ses limites ? Grâce aux mathématiques, nous pouvons concevoir des modèles du monde qui nous entoure et les confronter à la réalité.
Jean Bourgain, médaillé Fields d'exception | Tangente
Le prodigieux mathématicien belge Jean Bourgain (1954 - 2018) a oeuvré dans de nombreux champs des mathématiques, tissant des liens totalement inattendus entre des domaines en apparence distincts. Ses résultats exceptionnels furent récompensés à de multiples reprises.
Acoustique et informatique musicale : Helmholtz | Tangente
Grâce aux travaux de Joseph Sauveur puis de Hermann von Helmholtz sur les phénomènes sonores, on sait décomposer un son en fonction de sa hauteur, de son intensité et de son timbre. C'est cette analyse qu'utilise l'informatique musicale tant prisée des compositeurs contemporains.
PodcastUn ticket gratuit vers les étoiles : Newton | Tangente
Que de progrès depuis la fameuse pomme de Newton ! Récemment, on a découvert que le champ gravitationnel possède des propriétés remarquables, permettant d'envisager des missions spatiales quasi gratuites en termes de consommation, non seulement vers la Lune mais aussi vers d'autres planètes…
Un invariant par projection centrale
Le besoin de modéliser la perception visuelle a fait émerger une nouvelle géométrie. Les peintres de la Renaissance ont éprouvé le besoin d'en faire une étude précise pour représenter la profondeur. Longueurs, angles : rien ne semblait se conserver, sauf une étrange relation liant quatre points alignés…
Birapport d'un autre monde
Dans le courant du XIXe siècle, la recherche d'éléments invariants par un certain groupe de transformations est devenue le principal objet d'étude des différentes géométries. Le birapport, invariant fondamental de la géométrie projective, se retrouve aussi dans les géométries non euclidiennes et leurs modèles.
Un outil géométrique d'une incomparable efficacité
La notion de division harmonique, comme celle plus générale de birapport, se sont avérées être des atouts essentiels du raisonnement géométrique, en particulier pour traiter de cocyclicité (propriété pour des points du plan d'appartenir à un même cercle) ou de faisceaux de droites.
PodcastMultiplier en temps quasi-linéaire : percée | Tangente
L'opération consistant à multiplier ensemble deux entiers a été introduite il y a plusieurs milliers d'années. En 2019, enfin, on a réussi à perfectionner cet algorithme !
PodcastLes théorèmes de Ménelaös et de Ceva
Les théorèmes de Ménélaös et de Ceva, classiques de la géométrie du plan, présentent une similarité de forme. Cette ressemblance se précise lorsque l'on introduit la notion de birapport.
PodcastColorier les pavés du plan : quatre couleurs | Tangente
La démonstration du théorème des quatre couleurs a fait couler beaucoup d'encre ! Moins polémiques sont les résultats sur les coloriages à l'aide de deux ou de trois couleurs seulement. Réfléchir à la réalisation d'un collier de perles va nous permettre de revisiter ces questions de coloriage.
PodcastDe la tectonique des plaques à l'habillage de la sphère
La surface de notre planète semble constituée d'une croûte dure. Mais comment se représenter ce recouvrement d'une sphère ? La tectonique des plaques montre que la surface terrestre se compose de plaques dures en mouvement, se frottant les unes aux autres.
PodcastOpérations sur le billard
Un des arts et plaisirs des mathématiques est de produire des représentations de problèmes sous des formes diverses. Certains problèmes de dynamiques peuvent ainsi être avantageusement remplacés par l'étude de trajectoires dans un billard, et révéler ainsi des structures, donc des beautés logiques, cachées.