Maclaurin Colin

En Écosse, au XVIII^e siècle, Colin Maclaurin étudie deux façons de rendre les formes calculables. En 1720, sa Geometrica Organica traite des courbes algébriques. En 1742, son Traité des fluxions organise le calcul infinitésimal hérité de Newton.

Son nom reste notamment attaché aux séries de Taylor centrées en zéro. Lorsqu'un tel développement représente bien la fonction, il l'approche près de cette origine à l'aide d'une somme de puissances de la variable.

Colin Maclaurin, aussi écrit Mac-Laurin, est un mathématicien écossais né en 1698 et mort en 1746. Il travaille principalement sur le calcul différentiel, le calcul infinitésimal et les courbes algébriques. Sa Geometrica Organica, publiée en 1720, est consacrée à ces courbes. Son Traité des fluxions, publié en 1742, prolonge et systématise les travaux de Newton.

Dans la lignée de Newton et de Brook Taylor, Maclaurin développe la théorie des séries entières de fonctions numériques. Pour une fonction f dérivable à tout ordre en zéro, une variable x et un entier k positif ou nul, sa série de Maclaurin emploie la dérivée d'ordre k en zéro : Le symbole k! désigne la factorielle de k. Cette série est le cas particulier d'une série de Taylor dont le centre est zéro. Elle représente f seulement aux valeurs de x où elle converge vers f. Par exemple, pour f(x) = e^x, on a f(0) = f′(0) = f″(0) = 1. Les termes d'ordres 0, 1 et 2 donnent donc l'approximation 1 + x + x²/2 près de zéro.

Maclaurin énonce en outre que deux courbes algébriques de degrés respectifs n et p ont au plus n × p points d'intersection lorsque ces intersections sont isolées. Son nom est aussi associé à la trisectrice de Maclaurin. Pour les coordonnées x et y d'un point et un paramètre a, cette cubique unicursale vérifie : Elle fournit une solution graphique au problème de la trisection de l'angle. Enfin, Maclaurin démontre que l'angle entre les rhombes raccordant les alvéoles d'abeilles vaut environ 109°28', résultat auparavant observé empiriquement par Maraldi.

Vérifions deux points de la trisectrice de Maclaurin. Les données sont le paramètre a = 1, l'abscisse x = 1 et les deux ordonnées candidates y = 1 et y = −1. L'équation à contrôler est celle de la cubique :

1. Pour le point de coordonnées (1, 1), le membre de gauche vaut 1 × (1² + 1²) = 2.

2. Le membre de droite vaut 1 × (3 × 1² − 1²) = 2. Les deux membres sont égaux, donc (1, 1) appartient à la courbe.

3. Pour y = −1, seul le carré de l'ordonnée intervient. Les deux membres valent encore 2, donc (1, −1) appartient aussi à la courbe.

Le contrôle est refaisable en remplaçant directement x, y et a dans l'équation. La figure rend visible la symétrie des deux points par rapport à l'axe horizontal, sans remplacer cette vérification algébrique.

Pour étudier une fonction près de zéro, une série de Maclaurin fournit le cadre centré à l'origine. Si l'étude porte sur un autre centre, il faut employer la série de Taylor correspondante plutôt que déplacer silencieusement le point de référence.

Pour tester si un point appartient à la trisectrice, on remplace ses coordonnées dans l'équation et l'on compare les deux membres. Un dessin seul ne suffit pas lorsque le point est proche de la courbe.

Pour borner les intersections isolées de deux courbes algébriques sans composante commune, les degrés n et p donnent la limite n × p énoncée par Maclaurin. Ce nombre est une borne maximale, non le décompte automatique des intersections visibles.

Série de Maclaurin et série de Taylor. La première est une série de Taylor centrée en zéro. Si le centre choisi n'est pas zéro, l'appellation « série de Taylor » est la bonne, mais « série de Maclaurin » ne l'est plus.

Colin Maclaurin et Brook Taylor. Ce sont deux mathématiciens distincts, même si leurs noms sont liés au même cadre des développements en série. Le test est le centre : zéro signale le cas portant le nom de Maclaurin, sans changer l'identité de Taylor.

Trisectrice et trisection à la règle et au compas. La trisectrice fournit une solution graphique par une courbe cubique. Elle ne constitue donc pas une construction fondée seulement sur une règle et un compas.

La borne exige des intersections isolées. Deux courbes partageant une composante ont une infinité de points communs : le décompte « au plus n × p » ne s'applique pas à cette situation. Même sans composante commune, le maximum peut ne pas être atteint.

La série formelle n'est pas toujours la fonction. Des dérivées de tout ordre en zéro suffisent à écrire la série de Maclaurin, mais pas à garantir son égalité avec f. Il faut encore qu'elle converge vers f au point considéré.

L'équation dépend du paramètre a. Dans la trisectrice x(x² + y²) = a(3x² − y²), changer a change la courbe. Les points vérifiés dans l'exemple ne valent que pour a = 1.

La solution graphique ne lève pas l'impossibilité classique. La source précise que l'impossibilité géométrique de la trisection ne sera démontrée qu'à la fin du XIX^e siècle. La courbe spéciale est précisément un moyen supplémentaire.

La série entière précise le type de développement associé au nom de Maclaurin. Les Développements limités éclairent l'approximation locale d'une fonction par un nombre fini de termes.

La notion de courbe algébrique replace la trisectrice et les travaux d'intersection dans leur cadre géométrique. L'article L'histoire du calcul infinitésimal situe le domaine prolongé par le Traité des fluxions.