Quand on pense proportionnalité, on pense souvent règle de trois, c’est-à-dire à une technique de calcul. Pourtant, cette notion est d’abord apparue en géométrie, avec l’étude des figures semblables à la base de nombreux théorèmes, et où elle a fait émerger l’idée de grandeurs incommensurables.
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Pour les géomètres de l'Antiquité, l'impossibilité de concevoir des nombres non rationnels a posé des problèmes pour la manipulation de rapports entre des longueurs ou des aires qui ne sont pas obligatoirement commensurables. La définition que l'on trouve dans les Éléments d'Euclide est restée en vigueur jusqu'au XIXe siècle.
En géométrie élémentaire, la notion de proportionnalité fait souvent intervenir des droites parallèles, en référence au théorème de Thalès. Il existe aussi des droites antiparallèles. Y aurait-il alors une « antiproportionnalité » ?
La racine carrée de 2 et le nombre d’or sont des nombres algébriques relativement faciles à définir. Ils ont pourtant marqué l’histoire comme premiers nombres irrationnels connus avec, peut-être pour le second, un côté « divin ».
En géométrie élémentaire, de nombreuses démonstrations font appel à la proportionnalité. Presque tous les théorèmes mythiques de la discipline sont concernés : Thalès, Ptolémée, Ménélaüs, Ceva, Pappus… Petit tour de ces grands problèmes.
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