boeufs de Newton

Des bœufs entrent dans une prairie et en mangent l’herbe. Pendant ce temps, l’herbe continue de pousser : doubler le nombre de jours ne revient donc pas simplement à doubler la quantité disponible. Le problème des bœufs de Newton utilise deux expériences de pâturage pour séparer la réserve présente au départ de la repousse quotidienne. On peut alors prévoir combien de bœufs une autre surface nourrira pendant une durée donnée.

Les bœufs de Newton forment un problème de bilan entre une ressource initiale, sa production au fil du temps et sa consommation. Pour que les neuf quantités déterminent une relation, le modèle suppose des prairies comparables : chacune porte au départ la même réserve d’herbe et produit chaque jour la même quantité nouvelle. Tous les bœufs consomment à un rythme identique et constant.

Dans une observation, le nombre a désigne les bœufs, le nombre b les prairies et le nombre c les jours. On mesure la réserve initiale x d’une prairie en bœuf-jours et sa repousse quotidienne y par le nombre de bœufs qu’elle peut nourrir un jour. Le bilan est $ac=b(x+cy)ac=b(x+cy)$. Les deux autres observations emploient les indices 1 et 2 avec les mêmes paramètres x et y.

Lorsque deux durées au moins sont distinctes, les trois observations sont algébriquement compatibles exactement lorsque la relation suivante est satisfaite : Le modèle physique exige en plus des valeurs x et y non négatives. Cette relation ne vaut que pour une croissance linéaire et des nombres de prairies et de jours strictement positifs.

On rencontre ce problème dans les recueils de mathématiques récréatives et les exercices de proportionnalité. Son énoncé se reconnaît à quatre marqueurs : plusieurs groupes de bœufs, plusieurs nombres de prairies, des durées de pâturage et une herbe qui constitue une ressource renouvelable. Les trois triplets « bœufs, prairies, jours » encodent des bilans de fourrage. Le nom renvoie au problème formulé et résolu par Newton, non à une race bovine ni à une unité physique.

La grandeur à suivre est le fourrage, exprimé en bœuf-jours : un bœuf-jour nourrit un bœuf pendant un jour au rythme de consommation convenu.

1. Pour chaque expérience, multipliez le nombre de bœufs par le nombre de jours afin d’obtenir la consommation totale.
2. Multipliez la réserve initiale d’une prairie par le nombre de prairies.
3. Ajoutez la repousse : taux quotidien par prairie × nombre de prairies × nombre de jours.
4. Égalisez la consommation et le fourrage disponible, puis utilisez deux expériences de durées distinctes, avec des nombres de prairies et de jours strictement positifs, pour trouver la réserve et le taux.

L’erreur intuitive consiste à traiter l’herbe comme un stock immobile. Or une durée plus longue augmente à la fois la consommation et la repousse. Le bon réflexe est donc d’écrire les deux contributions au fourrage avant d’appliquer une proportion.

Une première expérience montre que 4 bœufs rasent 1 prairie en 4 jours. Une deuxième montre que 6 bœufs rasent 2 prairies en 6 jours. On cherche combien de bœufs 3 prairies peuvent nourrir pendant 12 jours.

Données : 4 bœufs, 1 prairie, 4 jours ; 6 bœufs, 2 prairies, 6 jours ; puis 3 prairies et 12 jours. La réserve x et la repousse y restent inconnues.

1. Le premier bilan donne $4\times 4=x+4y4\backslash times4=x+4y$.

2. Le deuxième bilan donne $6\times 6=2(x+6y)6\backslash times6=2(x+6y)$.

3. La résolution des deux équations donne exactement $x=12x=12$ bœuf-jours par prairie et $y=1y=1$ bœuf nourri par prairie et par jour.

4. Trois prairies fournissent en 12 jours $3(12+12\times 1)=723(12+12\backslash times1)=72$ bœuf-jours.

5. La capacité cherchée est donc $72÷12=672\backslash div12=6$ bœufs. Contrôle : $6\times 12=726\backslash times12=72$ bœuf-jours, exactement le fourrage disponible. Le schéma de bilan distingue la réserve initiale de la repousse cumulée.

Dans un exercice, on commence par ramener chaque situation à une prairie : le quotient du nombre de bœufs par le nombre de prairies se compare alors en fonction de la durée. Deux observations de durées distinctes suffisent à retrouver les deux composantes du modèle, à condition que les nombres de prairies et de jours soient strictement positifs.

Lorsque la ressource ne se renouvelle pas pendant l’expérience, une simple proportion inverse entre effectif et durée est préférable. La méthode de Newton devient utile lorsque le texte signale une production continue, ici la pousse de l’herbe.

Le même bilan peut servir à contrôler un résultat : on calcule séparément le stock de départ, la production cumulée et la consommation. Si les deux totaux diffèrent, la réponse ou l’une des hypothèses est incorrecte.

Le problème des bœufs d’Archimède. Il demande des effectifs de troupeaux soumis à des relations arithmétiques. Celui de Newton met en jeu des prairies, des durées et une ressource qui repousse. La présence d’un bilan d’herbe au cours du temps tranche.

Une proportion inverse ordinaire. Avec une quantité fixe de nourriture, doubler les bœufs divise la durée par deux. Dans le problème de Newton, lorsque la repousse est strictement positive, attendre davantage produit aussi davantage d’herbe ; l’effectif et la durée ne sont donc pas simplement inversement proportionnels.

Un problème de travail à débit constant. Des ouvriers qui accomplissent une tâche fixe n’ont pas à absorber une tâche nouvelle chaque jour. Ici, la quantité totale à consommer augmente avec la durée.

Repousse nulle. Au seuil y = 0, la prairie ne produit plus d’herbe pendant le pâturage. Le modèle reste cohérent, mais se réduit à un stock fixe et à une proportion inverse entre bœufs et jours pour une surface donnée.

Deux observations redondantes. Si elles ont la même durée, elles ne séparent pas la réserve de la repousse. Il faut une autre durée, avec des nombres de prairies et de jours strictement positifs.

Données incompatibles. Si les paramètres calculés avec deux expériences ne reproduisent pas la troisième, les neuf quantités ne suivent pas le modèle. Il faut vérifier les données ou abandonner l’hypothèse de taux constants.

Prairies inégales ou croissance variable. Une sécheresse, une repousse saisonnière ou des surfaces de fertilité différente brisent le bilan linéaire commun. Il faut alors mesurer chaque prairie ou employer un modèle dont le taux varie avec le temps.

L’article Redécouvrir la proportionnalité aide à distinguer une proportion directe, une proportion inverse et un bilan où une ressource se renouvelle.