Le cas emblématique de l’hyperbole -----------------------------------
La première rencontre avec une asymptote a généralement lieu au lycée, lors de l’étude de la fonction inverse, dont la courbe, d’équation y=1xy=\frac{1}{x} dans un repère orthonormé, possède les deux axes du repère comme « asymptotes ».
Le point M de la courbe, de coordonnées (x,1x)( x,\frac{1}{x}) se situe à la distance 1x\frac{1}{x} de son projeté orthogonal H, de coordonnées (x, 0), sur l’axe des abscisses. Cette distance tend vers 0 lorsque x tend vers l’infini, mais sans jamais être égale à 0. Donc la courbe « se rapproche » de l’axe des x sans jamais l’atteindre.
Cette idée se trouve dans l’étymologie du mot « asymptote » : formé du préfixe privatif « a » et du grec symptôsis (« rencontre »), il signifie fondamentalement « pas de rencontre ».