Logique et ensemblesThéorème · Glossaire
paradoxe du crocodile
Le paradoxe du crocodile est une promesse auto-référentielle : un crocodile enlève un enfant et promet à sa mère de le rendre si elle devine ce qu’il fera, sinon de le dévorer. Si elle prédit qu’il le dévorera, chacune des deux seules issues — rendre ou dévorer — contredit la règle : dévorer rend la prédiction juste et impose de rendre, tandis que rendre la rend fausse et impose de dévorer. Il montre ainsi qu’une condition portant sur sa propre exécution peut rendre toute décision incompatible avec la promesse.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle auto-référentiel de la promesse.
- Tester séparément les issues rendre et dévorer.
- Distinguer contradiction et absence de choix unique.
- Comparer le mécanisme au paradoxe du menteur.
En clair
Un crocodile promet de rendre un enfant si sa mère devine son prochain geste. La mère répond : « Tu vas le dévorer. » Le crocodile semble alors privé de toute bonne décision. S'il dévore l'enfant, la prédiction est juste et il doit le rendre. S'il le rend, la prédiction est fausse et il doit le dévorer.
Le piège vient donc de la promesse elle-même : son résultat dépend de la vérité d'une prédiction qui porte précisément sur ce résultat.
Définition
Le paradoxe du crocodile est un paradoxe logique auto-référentiel. Une promesse relie la justesse d'une prédiction au geste futur qui rendra cette même prédiction juste ou fausse. Le crocodile annonce deux issues : rendre l'enfant si la mère devine son geste, ou le dévorer si elle se trompe.
Lorsque la mère prédit que l'enfant sera dévoré, chaque issue contredit la règle annoncée. Dévorer rend la prédiction juste, donc commande de rendre l'enfant. Rendre l'enfant rend la prédiction fausse, donc commande de le dévorer. Aucune des deux actions ne satisfait alors la promesse.
La réponse « Tu vas me le rendre » produit une situation différente. Si le crocodile rend l'enfant, la prédiction juste concorde avec la promesse. S'il le dévore, la prédiction fausse concorde également avec la promesse. La règle reste cohérente, mais elle ne détermine pas une action unique. Ce paradoxe, de la même famille que le paradoxe du menteur, est attribué à Chrysippe de Soles.
Le principe
Supposons que « rendre » et « dévorer » soient les deux seules actions possibles. La lettre R désigne l'action de rendre l'enfant, et la lettre P désigne la justesse de la prédiction. La promesse exige que l'enfant soit rendu exactement lorsque la prédiction est juste :
Si la mère prédit « dévorer », sa prédiction est juste exactement lorsque R est faux. La promesse demanderait donc que R soit à la fois équivalent à sa propre négation, ce qui est impossible.
Quand l'utiliser
Le raisonnement s'applique si la prédiction est arrêtée avant l'action, si « rendre » et « dévorer » forment les deux issues envisagées, et si le crocodile doit respecter exactement sa règle conditionnelle. Il faut aussi juger la prédiction sur l'action effectivement accomplie.
Un contre-cas apparaît lorsque la mère prédit : « Tu vas me le rendre. » Rendre confirme la prédiction et respecte la règle ; dévorer la dément et respecte aussi la règle. Il n'y a plus de contradiction, mais la promesse ne permet pas de prévoir le choix. Si une troisième action est admise, comme différer indéfiniment la décision, l'alternative initiale n'est plus exhaustive et le raisonnement doit être reformulé.
Un exemple, pas à pas
La mère annonce : « Tu vas dévorer l'enfant. » Les données sont la promesse du crocodile, cette prédiction fixée et les deux actions possibles : rendre ou dévorer.
1. Supposons que le crocodile dévore l'enfant.
2. La mère a alors deviné juste. Selon la première branche de la promesse, le crocodile doit rendre l'enfant : l'action supposée contredit la conséquence promise.
3. Supposons au contraire que le crocodile rende l'enfant.
4. La mère s'est alors trompée. Selon la seconde branche de la promesse, le crocodile doit dévorer l'enfant : cette nouvelle action contredit elle aussi la conséquence promise.
Le contrôle consiste à tester séparément les deux actions annoncées. Chacune oblige immédiatement à choisir l'autre ; aucune ne permet donc au crocodile de tenir sa promesse. Le schéma résume ce double échec sans ajouter une troisième possibilité.
En pratique
Pour résoudre l'énigme, on ne cherche pas d'abord ce que le crocodile « devrait vouloir ». On dresse les actions permises, puis on vérifie si chacune respecte la conséquence annoncée.
Pour examiner une promesse conditionnelle, on distingue la condition — la prédiction est-elle juste ? — de la conséquence — rendre ou dévorer. Cette séparation révèle que la réponse « dévorer » inverse chaque tentative.
Si une réponse ne crée pas de contradiction, on vérifie encore si elle impose une issue. Avec « rendre », les deux choix respectent la règle : la cohérence ne suffit donc pas à rendre la décision unique.
À ne pas confondre
Le paradoxe du menteur repose sur un énoncé qui affirme sa propre fausseté. Le paradoxe du crocodile, lui, fait dépendre une action future de la justesse d'une prédiction sur cette action. Le critère qui les sépare est donc le support de l'auto-référence : une phrase dans le premier cas, une promesse liée à un geste dans le second.
Il ne faut pas non plus confondre contradiction et indétermination. La prédiction « dévorer » ne laisse aucune action conforme à la promesse ; la prédiction « rendre » en laisse deux. Dans le premier cas la règle est impossible à satisfaire, dans le second elle ne décide rien à elle seule.
Limites et pièges
Le paradoxe exige que les deux issues annoncées soient exhaustives. Si le crocodile peut attendre, négocier ou accomplir une troisième action, le test à deux branches ne couvre plus tous les cas ; il faut préciser une nouvelle règle.
La contradiction concerne la possibilité de tenir la promesse, non une impossibilité matérielle d'agir. Le crocodile peut rendre ou dévorer l'enfant, mais chacun de ces gestes viole la règle lorsque la mère a prédit « dévorer ».
Avec la prédiction « rendre », les deux actions sont compatibles avec la règle. Conclure que le crocodile doit rendre l'enfant serait donc un piège : la cohérence obtenue ne fournit ni existence d'un choix imposé ni unicité de l'issue.
Pour aller plus loin
Le paradoxe du menteur permet d'isoler la forme la plus directe de l'auto-référence et de la comparer au mécanisme conditionnel de la promesse du crocodile.
L'article La notion de paradoxe replace cette énigme dans une réflexion plus large sur les raisonnements dont les conclusions heurtent leurs prémisses ou l'intuition.
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