permutation d'un ensemble

Prenons quatre cartes marquées A, B, C et D. Les placer dans l’ordre C, A, D, B produit une permutation : chaque carte apparaît une fois, aucune n’est ajoutée et aucune ne disparaît. Seules leurs places changent.

Une permutation utilise donc tous les éléments d’un ensemble fini. Avec quatre éléments, il existe 24 ordres possibles. Deux ordres qui diffèrent par une seule place comptent déjà comme deux permutations distinctes.

Soit E un ensemble fini. Une permutation de E est une bijection de E sur lui-même : chaque élément de départ possède une unique image dans E, et chaque élément de E est l’image d’un unique élément. Cette double condition garantit que tous les éléments sont conservés, sans omission ni répétition. Une permutation peut ainsi se lire comme un réarrangement de la totalité de E.

Si le cardinal de E, c’est-à-dire son nombre d’éléments, vaut n, le nombre de permutations possibles est $n!n!$. La factorielle de n est le produit des entiers de 1 à n. Pour E = {A, B, C, D}, la règle donne 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

La composition de deux permutations fournit encore une permutation de E. Toutes les permutations de E, munies de cette composition, forment le groupe symétrique de E. La source rappelle qu’Évariste Galois a étudié systématiquement ce groupe et ses sous-groupes, dans des travaux fondateurs pour la théorie des groupes.

Une permutation réunit quatre données liées. L’ensemble fini E fournit les éléments de départ et d’arrivée. L’application associe à chaque élément de E une seule image. La bijectivité impose que deux éléments distincts n’aient pas la même image et que chaque élément soit atteint. Enfin, la composition permet d’enchaîner deux permutations : on applique l’une, puis l’autre.

L’ensemble et les correspondances suffisent à déterminer la permutation. La manière de la représenter — ordre écrit, flèches ou cycles — ne change pas l’objet mathématique. Pour E = {A, B, C, D}, les images A ↦ C, B ↦ A, C ↦ D et D ↦ B décrivent donc une permutation complète.

On travaille avec l’ensemble E = {A, B, C, D}. Il contient 4 éléments distincts. La permutation choisie envoie A sur C, B sur A, C sur D et D sur B. On veut vérifier qu’elle est bijective, puis compter toutes les permutations de E.

1. On relève les images dans l’ordre : C, A, D, B.
2. Chacun des quatre éléments de E apparaît exactement une fois parmi ces images. L’application est donc bijective.
3. Pour construire un ordre, 4 choix sont possibles pour la première place, puis 3, puis 2, puis 1.
4. Le nombre total vaut 4 × 3 × 2 × 1 = 24, soit 4!.

Le résultat est donc 24 permutations de l’ensemble E. Un contrôle direct consiste à fixer A en première place : les trois autres lettres ont 3! = 6 ordres. Les quatre choix possibles pour la première lettre donnent bien 4 × 6 = 24.

Pour énumérer tous les ordres possibles de quatre éléments distincts, on compte des permutations et l’on obtient 4! = 24. Si seule une partie des éléments est retenue, il faut employer un autre dénombrement.

Pour vérifier un réarrangement, on compare les éléments de départ et les images. Chaque élément doit apparaître exactement une fois de chaque côté. Une omission ou une répétition montre que l’application proposée n’est pas une permutation.

Pour enchaîner deux réarrangements, on compose leurs applications. Le résultat reste une permutation du même ensemble ; si l’ensemble de départ ou d’arrivée change, cette structure de groupe ne s’applique plus telle quelle.

Une permutation réarrange tous les éléments d’un ensemble. Une sélection n’en retient qu’une partie : choisir A et C parmi {A, B, C, D} n’est donc pas une permutation de cet ensemble.

Une bijection entre deux ensembles peut relier deux ensembles distincts. Une permutation exige que l’ensemble de départ et l’ensemble d’arrivée soient le même ensemble E.

Un sous-ensemble ne tient pas compte de l’ordre de ses éléments. Les écritures C, A, D, B et A, C, D, B décrivent deux permutations distinctes, mais elles utilisent le même ensemble {A, B, C, D}.

Pour l’ensemble vide, le cardinal vaut 0 et il existe une unique permutation : l’application vide. La convention 0! = 1 conserve donc la formule n! à ce cas charnière.

La formule n! suppose un ensemble de n éléments distincts. Si deux objets sont matériellement indiscernables, les échanger ne crée pas nécessairement un nouvel ordre observable ; il faut alors compter les répétitions autrement.

Une liste réordonnée n’est pas automatiquement une permutation : avec E = {A, B, C, D}, la liste C, A, C, B répète C et omet D. Le bon réflexe consiste à vérifier que chaque élément de E apparaît exactement une fois.

Dans une composition, l’ordre d’application doit être annoncé. Appliquer d’abord une permutation puis une seconde peut donner un résultat différent de l’ordre inverse ; il faut suivre les images étape par étape.

La bijection précise la condition qui garantit qu’aucun élément n’est perdu ni répété.

Le dénombrement replace la formule n! parmi les méthodes qui comptent des configurations finies.

L’analyse combinatoire élargit l’étude aux choix et aux arrangements soumis à d’autres contraintes.