AlgèbreNotion · Glossaire
von Dyck Walther
Walther von Dyck est un mathématicien allemand qui a contribué à la théorie combinatoire des groupes en introduisant leur présentation par générateurs et relations. Cette méthode décrit un groupe par des éléments de base et les contraintes qui les relient, afin d'en étudier plus simplement la structure.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Walther von Dyck par ses dates, ses lieux d'études et Felix Klein.
- Relier sa contribution aux présentations de groupes par générateurs et relations.
- Distinguer langage, mot et graphe de Dyck.
- Vérifier pas à pas qu'une suite de parenthèses est un mot de Dyck.
En clair
En 1879, après des études à Munich, Berlin et Leipzig, Walther von Dyck prépare sa thèse sous la direction de Felix Klein. Ce mathématicien allemand né à Munich travaille ensuite sur la théorie des fonctions et la théorie combinatoire des groupes.
Son nom reste associé à une manière formelle de décrire les groupes par des générateurs et des relations. Il désigne aussi des objets combinatoires, dont les mots de Dyck : des suites de parenthèses correctement emboîtées, comme (()()).
Définition
Walther Franz Anton von Dyck (1856-1934) est un mathématicien allemand né à Munich. Il étudie à Munich, Berlin et Leipzig, puis prépare en 1879 sa thèse sous la direction de Felix Klein. Ses recherches portent principalement sur la théorie des fonctions et la théorie combinatoire des groupes.
Dans ce dernier domaine, sa contribution signalée ici est l'introduction d'une présentation formelle des groupes par générateurs et relations. Les générateurs nomment les éléments à partir desquels la description est construite ; les relations précisent les égalités qu'ils doivent respecter.
Le nom de Dyck est également attaché à plusieurs objets distincts. Le langage de Dyck est le langage formel des mots bien parenthésés sur un alphabet. Un mot de Dyck est un mot appartenant à ce langage ; ces mots sont notamment comptés par les nombres de Catalan. Le graphe de Dyck est, quant à lui, un graphe régulier symétrique.
Un exemple, pas à pas
Considérons le mot (()()). Les données sont ses six signes, lus de gauche à droite : trois parenthèses ouvrantes et trois parenthèses fermantes. On note le niveau 0 avant la lecture. Une ouverture ajoute 1 au niveau ; une fermeture retire 1.
1. Les deux premières ouvertures font passer le niveau de 0 à 1, puis à 2.
2. La première fermeture ramène le niveau à 1.
3. L'ouverture suivante le reporte à 2.
4. Les deux dernières fermetures le ramènent successivement à 1 puis à 0.
2. La première fermeture ramène le niveau à 1.
3. L'ouverture suivante le reporte à 2.
4. Les deux dernières fermetures le ramènent successivement à 1 puis à 0.
Le niveau n'est jamais négatif et vaut 0 à la fin : chaque fermeture répond à une ouverture antérieure. Le mot (()()) est donc bien parenthésé. Le contrôle est refaisable en retrouvant la suite de niveaux 0, 1, 2, 1, 2, 1, 0. La figure matérialise exactement cette lecture.
En pratique
Pour vérifier un mot de parenthèses, on le lit de gauche à droite en suivant le nombre d'ouvertures encore non refermées. Ce suivi convient lorsque l'ordre d'emboîtement importe ; compter seulement les deux types de signes ne suffit pas.
Pour décrire formellement un groupe, une présentation par générateurs et relations met en avant les éléments choisis pour engendrer la structure et les égalités imposées entre eux. Cette forme est pertinente quand ces deux listes sont les données que l'on veut examiner.
Pour poursuivre une recherche documentaire, il faut préciser l'objet visé. Les expressions « mot de Dyck », « langage de Dyck » et « graphe de Dyck » ne sont pas interchangeables, même si elles partagent le même nom.
À ne pas confondre
Walther von Dyck et un mot de Dyck. Le premier est le mathématicien allemand né en 1856 ; le second est un mot bien parenthésé. La présence d'une suite de parenthèses, telle que (()()), indique que l'on parle de l'objet combinatoire.
Langage de Dyck et mot de Dyck. Le langage est l'ensemble formel considéré, tandis qu'un mot est un élément de ce langage. (()()) est un mot ; la collection des mots bien parenthésés constitue le langage.
Mot de Dyck et graphe de Dyck. Le mot est une suite bien parenthésée ; le graphe est un graphe régulier symétrique. Une écriture linéaire de parenthèses relève du premier, une structure de sommets et d'arêtes du second.
Limites et pièges
Un bilan final nul ne suffit pas. Le mot )( contient autant d'ouvertures que de fermetures, mais son niveau devient −1 dès le premier signe. Il faut donc contrôler chaque préfixe, pas seulement le total final.
Le nom ne définit pas une famille unique. Langage, mot et graphe de Dyck appartiennent à des catégories différentes. Le symptôme du piège est une propriété transférée de l'un à l'autre ; il faut d'abord identifier la nature de l'objet.
Une présentation n'est pas une simple liste de symboles. Nommer des générateurs sans indiquer les relations omet une moitié des données signalées dans la contribution de von Dyck. Il faut conserver ensemble les générateurs choisis et les égalités imposées.
Pour aller plus loin
La fiche mot de Dyck approfondit l'objet combinatoire bien parenthésé et son lien avec le comptage par les nombres de Catalan.
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