Matemáticas para todos
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La geometría de los complejos
El sueño de René Descartes —transformar un problema de geometría pura en un problema algebraico— era realizable… ¡pero más de un siglo después! Gracias a los números complejos, nació así otra forma de explorar las figuras y construcciones geométricas.
Otra transformación: la inversión
Las isometrías (y, más en general, las semejanzas) no son las únicas transformaciones del plano que se describen fácilmente mediante números complejos. Lo mismo ocurre con la inversión.
Semejanzas interesantes...
El estudio de las isometrías se aborda bien desde el punto de vista de los números complejos. Sin embargo, estas transformaciones no son las únicas que pueden describirse mediante fórmulas sencillas. Si prescindimos de la conservación de las longitudes, se abre ante nosotros la amplia familia de las semejanzas.
Las isometrías del plano
El estudio de las isometrías del plano (simetrías, traslaciones, rotaciones...) puede marear a veces. ¿Qué le ocurre a un punto o a una figura cuando se aplican sucesivamente varias transformaciones? Los números complejos ofrecen una representación tan elegante como esclarecedora.
Números no tan complejos
¿Qué realidad encierran los números complejos? ¿Cómo «imaginar» que i² sea igual a −1? Una respuesta visual impactante se obtiene mediante una interpretación geométrica de la multiplicación. Y, como guinda del pastel, este mismo modelo explica por qué «menos por menos da más».
Conjugado, módulo y argumentos
Una vez admitida la existencia de un número i tal que i²=-1, ¿no corremos el riesgo de perder el contacto con la realidad física? Al contrario, se establece una correspondencia profunda y fecunda: cuestiones de geometría pura se resuelven mediante simples manipulaciones algebraicas.
Algoritmos en línea Tomar decisiones sin conocer el futuro
El don de adivinar el futuro sería, evidentemente, una ventaja considerable. ¿Quién no ha soñado alguna vez con ello? A falta de una bola de cristal, las matemáticas nos permiten tomar decisiones poco perjudiciales sin conocer por ello el futuro. Bienvenidos al mundo de los algoritmos en línea.
Poincaré, geometría y robótica | Tangente
Las matemáticas, y en particular la geometría, constituyen un componente esencial de uno de los campos más técnicos que existen: la robótica. La noción de espacio, que el matemático Henri Poincaré (1854-1912) analizó en profundidad, ocupa un lugar central en el trabajo del ingeniero en robótica.
Falla Logjam en el protocolo HTTPS | Tangente
Un equipo de investigadores francoestadounidense acaba de hacer trampas… ¡pero por una buena causa! ¿Su objetivo? Comprobar los mecanismos criptográficos utilizados para proteger las comunicaciones en Internet.
Código secreto de los lutieres descifrado | Tangente
Los lutieres de la firma parisina Gand & Bernardel, célebre dinastía de fabricantes de violines desde 1795 hasta la Segunda Guerra Mundial, disponían de un código que les permitía trabajar con total discreción en sus albaranes.
Tangente cumple 30 años: 30 formas de apoyarla
La revista Tangente, que va a celebrar sus 30 años, se ha convertido en un referente imprescindible en el panorama de la cultura matemática. Sin embargo, vuestro apoyo es más necesario que nunca para garantizar su continuidad.
Apuesta por las presidenciales: lectores frente a sondeos
Muchos habéis participado en el reto de predecir con la mayor precisión posible los resultados de las elecciones presidenciales. La ganadora es Élisabeth Pietravalle. Muy por detrás, Ipsos resulta ser el mejor instituto.
Números en un triángulo: juegos matemáticos para resolver
La disposición de los números del triángulo de Pascal se presta, naturalmente, al juego, y muchos pasatiempos matemáticos hacen referencia a ella.
Los números complejos de módulo 1
De simples símbolos formales para el cálculo algebraico, los números complejos pasaron, gracias a su interpretación geométrica, a usarse habitualmente a partir del siglo XIX… ¡en casi todos los ámbitos de las matemáticas! Intervienen así de forma natural en la teoría de números.
Viaje al corazón de un clásico de las matemáticas
Si sabemos cómo rellenar el triángulo de Pascal, quizá sepamos menos cuántos tesoros encierra. Aritméticos, geométricos, combinatorios: ¡no le faltan asombrosas propiedades matemáticas! Y, sin duda, aún quedan muchas por descubrir…
Triángulo de Pascal: una historia milenaria | Tangente
El «triángulo de Pascal» pudo haber sido descubierto por los indios hace más de dos mil años. Ya en el siglo XI se difundió por el mundo arabomusulmán y por China. Hubo que esperar hasta el siglo XVI para verlo aparecer en Europa, donde Blaise Pascal lo estudió rigurosamente.
Acelerar la multiplicación de enteros | Tangente
Los números complejos parecen muy alejados de las cuestiones de rentabilidad del mundo moderno. Sin embargo, dan lugar a métodos que permiten acelerar la multiplicación de grandes números enteros. Permiten ahorrar tiempo, mucho tiempo… ¡y, por tanto, dinero!
Mediatrices, bisectrices y más allá | Tangente
En geometría se aborda muy pronto la noción de equidistancia. En esta materia, la mediatriz y la bisectriz son el abc. Vayamos más lejos evocando los puntos equidistantes de una recta y una circunferencia, de dos circunferencias o incluso de dos curvas más generales. ¿Hasta dónde podemos llegar?
? es un cuerpo algebraicamente cerrado
El cuerpo ? de los números complejos se construyó para proporcionar soluciones a todas las ecuaciones de segundo grado. La sorpresa es que también contiene las soluciones de todas las ecuaciones algebraicas con coeficientes en ?. En términos técnicos, es algebraicamente cerrado.
¿Qué es un número complejo?
El conjunto de los números complejos se impuso (no sin dificultad) cuando hubo que hallar, más allá de los números reales, todas las soluciones de una ecuación de segundo grado. Lo imprevisto fue su riqueza y los vínculos que acabaría estableciendo con las matemáticas en su conjunto. Primeros descubrimientos.