Dans les années 1770, les mathématiciens Edward Waring (1736‒1798), Joseph-Louis Lagrange (1736‒1813) et Alexandre-Théophile Vandermonde (1735‒1796) développent les permutations, en tant que réarrangements des racines d’une équation. C’est un outil central de leurs études sur la théorie algébrique des équations. Si Waring a échappé à la postérité malgré ses travaux, nombreux mais obscurs, et si Vandermonde a effectué ses premiers pas mathématiques avec les fonctions symétriques, il revient à Lagrange de poser les bases de la théorie de Galois (voir notre hors-série 80 Les Groupes, 2021). La théorie des permutations progresse ensuite au début du XIXe siècle avec Paolo Ruffini (1765‒1822) et Augustin-Louis Cauchy (1789‒1857).
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Permutations de trois pommes (une jaune, une verte et une rouge).

Les substitutions vues par Cauchy ---------------------------------