Matrices carrées et transformations du plan

Tout nombre réel strictement positif admet deux racines carrées. Il en va de même de tout nombre complexe non nul. Le fait d’avoir au plus deux racines carrées se vérifie plus largement dans tout ensemble que l’on appelle un corps. L’exemple de l’ensemble des nombres rationnels, c’est-à-dire les fractions, en est un exemple : avec r₁ = 4/9, deux nombres sont tels que, élevés au carré, on retrouve r₁ (à savoir, 2/3 et ‒2/3) ; r₂ = 17 ne possède aucune racine carrée dans cet ensemble puisque le réel $\sqrt{17}\backslash sqrt\{17\}$ est irrationnel et donc r₂ n’est le carré d’aucune fraction. Pourtant, dans certains ensembles plus généraux, le nombre de racines carrées peut dépasser largement le nombre 2.

Un peu de géométrie vectorielle… --------------------------------

L’ensemble des matrices carrées d’une taille donnée possède une opération d’addition et une de multiplication (voir encadré).

Dans un plan vectoriel euclidien P muni d’une base orthonormée $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}),\backslash left(\; \backslash overrightarrow\; \{i\},\; \backslash overrightarrow\{j\}\; \backslash right),$ la norme euclidienne d’un vecteur $\overrightarrow{u}\backslash overrightarrow\; \{u\}$ de coordonnées (x, y) dans cette base, vaut $\mathrm{\parallel }\overrightarrow{u}\mathrm{\parallel }=\mathrm{\parallel }(x,y)\mathrm{\parallel }=\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{.}\backslash Vert\; \backslash overrightarrow\; \{u\}\; \backslash Vert\; =\; \backslash Vert\; (x,\; y)\; \backslash Vert\; =\; \backslash sqrt\{x^2+y^2\}.$