Melchior Eberhard

Placez quelques points distincts sur une feuille et tracez les droites qui relient les paires de points. Si les points ne sont pas tous sur une même droite, l'une de ces droites ne rencontrera l'ensemble qu'en ses deux points de départ. Cette droite est appelée une droite ordinaire. Le théorème de Sylvester-Gallaï affirme que cette rencontre à deux points est inévitable pour tout ensemble fini de points du plan qui n'est pas entièrement aligné.

Le théorème de Sylvester-Gallaï porte sur un ensemble fini de points du plan. Deux points distincts déterminent une droite, et une droite ordinaire est une droite qui contient exactement deux points de l'ensemble considéré.

Le théorème propose alors deux possibilités exclusives : soit tous les points de l'ensemble sont colinéaires, soit l'ensemble possède au moins une droite ordinaire. La seconde possibilité s'applique donc dès qu'il existe trois points qui ne sont pas tous sur une même droite, même si d'autres points de l'ensemble sont alignés entre eux.

L'expression « exactement deux » est essentielle. Une droite qui contient trois points ou davantage n'est pas une droite ordinaire, même si elle a été obtenue en reliant deux points. L'énoncé est attribué à un problème posé par Sylvester en 1893 ; la source indique qu'Eberhard Melchior en a donné la première démonstration en 1940.

Considérons quatre points formant un carré : A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2) et D(0, 2). Ils ne sont pas tous colinéaires, puisque A, B et C ne sont pas sur une même droite. Le théorème garantit donc qu'au moins une droite ordinaire existe.

1. La droite AB est horizontale et contient A et B. Les points C et D ont une ordonnée égale à 2, tandis que A et B ont une ordonnée égale à 0 : la droite AB contient donc exactement deux points de l'ensemble.
2. De même, la droite BC contient exactement B et C, la droite CD exactement C et D, et la droite DA exactement D et A.
3. Les diagonales AC et BD contiennent chacune deux sommets du carré, mais elles ne fournissent pas de nouveau point de l'ensemble. Elles sont donc elles aussi des droites ordinaires.
4. La conclusion est vérifiable directement : l'ensemble n'est pas colinéaire et plusieurs droites passent exactement par deux de ses points.

Le calcul ne consiste pas à compter les paires de points, car plusieurs paires peuvent appartenir à une même droite. Il faut examiner les autres points sur chaque droite choisie. Ici, chacune des six paires de sommets détermine une droite qui ne contient aucun troisième sommet.

Pour tester un dessin fini, commencez par repérer les alignements de trois points ou davantage. Les droites qui portent ces alignements ne sont pas ordinaires. Examinez ensuite une paire de points qui n'appartient à aucun alignement plus fourni : la droite qu'elle détermine est ordinaire. Si l'ensemble n'est pas entièrement colinéaire, le théorème assure que cette recherche aboutira.

Dans le carré A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2), une lecture rapide suffit : chaque côté et chaque diagonale relie deux sommets sans passer par un troisième. Le dessin fournit donc immédiatement une droite ordinaire, sans qu'il soit nécessaire de démontrer une propriété supplémentaire du carré.

Une droite ordinaire n'est pas simplement une droite que l'on peut tracer entre deux points. Toute paire de points distincts détermine une droite, mais cette droite peut aussi contenir un troisième point de l'ensemble. Dans ce cas, elle n'est pas ordinaire au sens du théorème.

Il ne faut pas non plus confondre « les points sont colinéaires » avec « il existe une droite qui contient plusieurs points ». La première expression signifie qu'une seule droite contient tout l'ensemble. La seconde peut être vraie pour une partie des points alors que d'autres points sont situés ailleurs ; c'est précisément dans cette situation que le théorème garantit une droite ordinaire.

Le cas entièrement colinéaire est l'alternative explicitement prévue par l'énoncé. Une telle configuration ne doit pas être présentée comme une réfutation : elle correspond à la première possibilité du théorème, et l'existence d'une droite ordinaire n'est alors pas la conclusion demandée.

La finitude de l'ensemble est également une hypothèse importante. Le théorème concerne un nombre fini de points ; il ne permet pas de conclure automatiquement pour une collection infinie, dont les propriétés d'alignement peuvent être d'une autre nature. Enfin, une droite contenant trois points de l'ensemble ne devient pas ordinaire parce que l'on choisit seulement deux de ces points : le nombre de points se mesure dans l'ensemble complet.

Le théorème de Sylvester-Gallaï transforme une question de dessin en un énoncé de géométrie combinatoire : parmi les alignements engendrés par un ensemble fini non colinéaire, au moins l'un est minimal et ne contient que deux points. Le problème historique relie ainsi une observation élémentaire sur des points et des droites à une démonstration générale.

Dans l'exemple du carré, les côtés et les diagonales donnent six droites ordinaires. Cette multiplicité n'est pas nécessaire à l'énoncé : une seule suffirait. La force du théorème réside dans la garantie d'existence, indépendamment de la manière particulière dont les points non colinéaires ont été disposés.