Picard Charles Emile

En 1880, Charles Émile Picard démontre un résultat saisissant sur les fonctions d'une variable complexe. Une fonction entière non constante, définie sans singularité sur tout le plan complexe, ne peut éviter qu'une seule valeur au maximum.

L'image est celle d'un filet presque sans trou : la fonction couvre tout le plan complexe, sauf peut-être un point. Si elle n'est pas un polynôme, toute valeur qui n'est pas cette exception possède même une infinité d'antécédents. Ce théorème est l'une des traces les plus visibles d'une œuvre qui s'étend aussi aux équations différentielles.

Charles Émile Picard (1856–1941) est un mathématicien français. Reçu deuxième à l'École Polytechnique et premier à l'École Normale Supérieure, il choisit cette dernière. Il enseigne ensuite à la faculté des sciences de Toulouse, à la Sorbonne et à l'École Centrale, puis il est élu à l'Académie des Sciences en 1889.

Son théorème de 1880 porte sur une fonction entière, c'est-à-dire une fonction d'une variable complexe qui est holomorphe sur tout le plan complexe. Si cette fonction est non constante, son image contient toutes les valeurs complexes, avec au plus une exception. Lorsqu'elle est transcendante, donc entière mais non polynomiale, chaque valeur non exceptionnelle est prise une infinité de fois. La réserve « non exceptionnelle » est indispensable : une valeur omise ne possède aucun antécédent.

Ses travaux concernent aussi l'analyse, les équations différentielles ordinaires et aux dérivées partielles, les intégrales abéliennes, les groupes et les équations elliptiques. Pour résoudre des équations différentielles, Picard emploie les approximations successives fondées sur un théorème du point fixe. Son Traité d'analyse, publié en trois volumes entre 1891 et 1896, devient une référence durable. Il mène enfin une réflexion de philosophe et d'historien des sciences.

On vérifie le mécanisme sur la fonction exponentielle complexe. La donnée est la fonction $f(z)=e^{z}f(z)=e^z$, où la variable z parcourt le plan complexe. Elle est entière, non constante et non polynomiale.

1. On cherche d'abord un antécédent de 0. L'équation $e^z=0e^z=0$ n'a aucune solution complexe : 0 est donc la valeur exceptionnelle.

2. On choisit maintenant une valeur complexe non nulle, notée w. On prend pour L une détermination de son logarithme complexe, c'est-à-dire un nombre complexe tel que $e^L=we^L=w$.

3. Pour chaque entier relatif k, on forme $z_k=L+2ik\pi z\_k=L+2ik\backslash pi$. La périodicité donne $e^{z_k}=e^L{e}^{2ik\pi }=we^\{z\_k\}=e^L\; e^\{2ik\backslash pi\}=w$.

4. Les nombres z_k sont distincts lorsque k varie. Toute valeur non nulle possède donc une infinité d'antécédents, tandis que 0 n'en possède aucun. Ce contrôle retrouve exactement l'exception autorisée par le théorème de Picard.

Dans une notice historique, le nom de Picard conduit à deux fils distincts. En analyse complexe, le repère observable est la question des valeurs prises par une fonction entière ; le théorème de 1880 est alors le bon point d'entrée.

Pour une équation différentielle, le geste associé à Picard consiste à construire des approximations successives et à chercher un point fixe. Ce contexte ne mobilise pas le théorème sur les valeurs des fonctions entières, même si les deux sujets appartiennent à son œuvre.

Pour suivre son parcours, les dates ont des rôles précis : 1880 désigne le théorème sur les fonctions entières, 1889 son élection à l'Académie des Sciences, et 1891–1896 la publication des trois volumes du Traité d'analyse.

Le théorème de Picard sur les fonctions entières et la méthode des approximations successives répondent à deux questions différentes. Le premier décrit les valeurs prises par une fonction complexe ; la seconde sert à résoudre des équations différentielles au moyen d'un point fixe.

Une fonction entière n'est pas une fonction qui prend seulement des valeurs entières. Le mot signifie ici qu'elle est holomorphe sur tout le plan complexe. La fonction exponentielle complexe de l'exemple est entière, bien que ses valeurs ne soient pas limitées aux nombres entiers.

Une valeur exceptionnelle n'est pas une valeur rarement prise. Elle est entièrement omise. Dans l'exemple, 0 est exceptionnelle pour l'exponentielle complexe, tandis que chaque valeur non nulle est atteinte une infinité de fois.

L'hypothèse « non constante » ne peut pas être supprimée. Une fonction constante ne prend qu'une seule valeur et en omet donc une infinité ; elle ne satisfait pas la conclusion du théorème de 1880.

Dans le cas non polynomial, l'expression « chaque valeur est atteinte une infinité de fois » doit conserver la réserve de l'exception possible. L'exponentielle complexe en donne le symptôme : toutes les valeurs non nulles ont une infinité d'antécédents, mais 0 n'en a aucun.

Le théorème porte sur les fonctions entières, donc définies et holomorphes sur tout le plan complexe. L'appliquer sans vérification à une fonction présentant une singularité sort de ce cadre ; il faut alors examiner un résultat adapté au domaine réellement considéré.

Les dates de la source ne sont pas interchangeables. L'année 1880 se rattache au théorème, 1889 à l'Académie des Sciences et l'intervalle 1891–1896 au Traité d'analyse. Les fusionner en une date unique fausserait la chronologie.

L'exemple exponentiel invite à étudier plus finement le lien entre une valeur omise et les antécédents répétés d'une fonction entière transcendante.

Un second prolongement consiste à suivre la méthode des approximations successives : une première fonction est corrigée étape après étape jusqu'à satisfaire l'équation différentielle sous les hypothèses du théorème de point fixe employé.

Le Traité d'analyse ouvre enfin une perspective historique sur la manière dont l'analyse, les fonctions complexes et les équations différentielles étaient réunies dans une même œuvre entre 1891 et 1896.