Tematiche matematiche
Esplora i grandi temi della matematica: geometria, algebra, analisi, aritmetica, logica e molti altri ambiti appassionanti.
Autoriferimenti testuali: di Hofstadter | Tangente
I giochi con il linguaggio sono un terreno d’elezione per l’autoriferimento. Se ne trovano nelle opere di Douglas Hofstadter (vedi Tangente 131, 2009, e Tangente 154, 2013) e in molti lavori anonimi (reperiti per esempio in Rete), apocrifi o ben documentati. Eccone un’antologia.
Paradossi e autocontraddizioni nella logica | Tangente
L’autoreferenzialità è fonte di divertimento ed è anche all’origine di celebri e profondi paradossi matematici. La logica, i sensi, le certezze sono messi a dura prova. Allora prevale la riflessione… e spesso conduce alla meraviglia!
I nastri di Pascal
In passato, le questioni aritmetiche interessavano tanto i mercanti e i contabili quanto gli studiosi. Così, nel XVII secolo Blaise Pascal introdusse un procedimento che permette di verificare automaticamente se un numero intero è divisibile per un altro.
Conoscere i divisori... senza dividere
Riconoscere, quasi a colpo d’occhio, se un intero è divisibile per un altro è talvolta un’impresa ardua. Esistono però metodi del tutto affidabili per farlo, anche con numeri piuttosto grandi!
La ricottura simulata
Come distinguere un minimo locale da un minimo globale durante una procedura di calcolo approssimato? La ricottura simulata, ispirata a una pratica comune nell’industria metallurgica, propone un metodo empirico delicato ma efficace in numerose applicazioni.
Metodo del gradiente: sciare per minimizzare
Vi trovate su una pista da sci, nella nebbia. Quale percorso scegliete per scendere fino in fondo alla pista? Un metodo consiste nel seguire la massima pendenza, ossia il gradiente. Un’idea del genere fornisce un metodo numerico, ma anche un modo per determinare degli ottimi.
I triangoli di Heilbronn
Come disporre dei punti in una regione del piano per massimizzare la più piccola area determinata da tre di essi? Nonostante il carattere elementare di questo enunciato geometrico, ancora oggi non si conosce alcuna risposta generale al problema!
D’Arcy Thompson e la geometria della natura
Si possono spiegare matematicamente le forme che la natura ci mostra? Mentre la fisica dispone del principio di minima azione fin dal XVIII secolo e da Maupertuis, la biologia dovette attendere l’inizio del XX secolo perché si tentasse una sintesi.
Ottimizzare il benessere?
Il benessere di una popolazione è la somma degli indici di soddisfazione degli individui che la compongono? Non è affatto certo, tanto più che non è facile misurare, confrontare e aggregare le utilità individuali. L’italiano Vilfredo Pareto propose un approccio originale.
Le api parsimoniose
Ottimizzare, ottimizzare! Sembra questo il motto delle api quando costruiscono i loro favi. Esaminiamo i loro «metodi» di risparmio. La geometria ci sarà di grande aiuto per calcolare le aree e gli angoli delle celle.
La programmazione lineare
La programmazione lineare affronta problemi dalla formulazione apparentemente elementare: ottimizzare funzioni di primo grado su un insieme definito da disequazioni anch’esse di primo grado. Questa teoria trova in realtà numerose applicazioni molto concrete.
Il metodo Monte Carlo
In pratica, trovare un valore ottimale richiede spesso di eseguire complessi calcoli di integrali. Come procedere? Alcuni fisici hanno messo a punto il metodo Monte Carlo, il cui vantaggio è avere una complessità che non cresce con la dimensione degli integrali considerati.
Le buone divisioni
I bei problemi sono come i buoni piatti: ci piace condividerli. Talvolta è proprio la questione della divisione a diventare interessante, soprattutto quando si è di natura generosa e si vuole farne beneficiare il maggior numero possibile di persone.
Cammino più breve: algoritmi sui grafi | Tangente
Il cammino più breve da A a B è sempre la linea retta? In genere sì, ma quando occorre seguire i percorsi definiti dalle strade e dagli incroci di una città, si impone un altro punto di vista. L’algoritmo di Dijkstra ci viene allora in grande aiuto!
La derivata per toccare il fondo
Trovare il punto più basso di una data curva richiede di interrogarsi su come questa curva si avvicini a una retta in prossimità di uno dei suoi punti. Entra allora in scena la tangente
Problemi di colorazione per tutte le età
Attribuendo colori — con i relativi vincoli — ai vertici di un grafo, si entra nell’affascinante universo dei problemi di colorazione dei grafi.
Triangoli, ancora triangoli!
Quanti triangoli si possono disegnare al massimo con un dato numero di segmenti?
La persistenza
Applicando lo stesso algoritmo alle cifre di un numero e ripetendolo poi con le cifre del risultato, si affrontano la nozione di persistenza… e le questioni che ne derivano.
Kissing number: i baci della geometria | Tangente
Baciate chi volete...
Impacchettamento ottimale di quadrati in un grande quadrato | Tangente
Non riporrete più i vostri scatoloni allo stesso modo!