- Identifier les éléments et le but du baguenaudier.
- Coder une position de trois anneaux par des 0 et des 1.
- Rejouer et contrôler une résolution en cinq mouvements.
- Distinguer le codage binaire des contraintes mécaniques.
AlgèbreNotion · Glossaire
baguenaudier
Le baguenaudier est un casse-tête mécanique composé d'anneaux enfilés sur une tige, qu'il faut faire glisser le long d'une barre métallique selon une séquence précise. Attribué à l'inventeur Hung Ming (181-234) et étudié par Cardan, il appartient à la catégorie des puzzles à désenchevêtrements et à enchaînements de mouvements. Au-delà de son aspect ludique, ce jeu présente un intérêt mathématique notable : la numération binaire permet de représenter ses états, tandis que la règle mécanique détermine les mouvements légaux et impose une succession rigoureuse de manipulations.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
En clair
Imaginez trois anneaux retenus par une barre. À chaque geste, un seul anneau peut changer de position, mais tous les gestes ne sont pas permis. Il faut donc parfois remettre un anneau déjà libéré pour pouvoir agir sur le suivant.
Le baguenaudier transforme ainsi un désenchevêtrement en problème d'ordre. Si l'on note 1 un anneau engagé et 0 un anneau dégagé, chaque geste modifie un seul chiffre. Cette écriture rend visible le lien avec la numération binaire.
Définition
Un baguenaudier est un casse-tête mécanique à anneaux, tige et barre métallique. Le but est de dégager les anneaux de la barre, ou de les y remettre, en respectant les mouvements autorisés par l'enchaînement matériel. La difficulté ne vient pas d'une force à exercer : elle vient de l'ordre imposé aux manipulations.
Pour décrire une position comportant trois anneaux, on peut les numéroter du premier accessible au troisième. Un chiffre 1 signifie que l'anneau est engagé sur la barre ; un chiffre 0 signifie qu'il est dégagé. L'état 111 désigne donc les trois anneaux engagés et l'état 000 les trois anneaux dégagés. Un mouvement légal ne change qu'un chiffre, mais toute modification isolée d'un chiffre n'est pas forcément permise par le mécanisme.
Cette représentation binaire code les positions sans remplacer la règle mécanique. Elle permet de suivre une résolution, de repérer un retour nécessaire et de vérifier qu'aucun geste n'a été omis. Le baguenaudier appartient ainsi aux puzzles de désenchevêtrement dont la solution est un enchaînement déterminé de mouvements. La source l'attribue à Hung Ming (181-234) et indique que Cardan l'a étudié.
Un exemple, pas à pas
Prenons un baguenaudier à trois anneaux. Ils sont numérotés du premier accessible au troisième. Le premier anneau peut toujours être déplacé ; un anneau suivant ne peut l'être que si l'anneau qui le précède est engagé et si tous ceux placés avant cet anneau sont dégagés. Le chiffre 1 code un anneau engagé sur la barre et le chiffre 0 un anneau dégagé. Le départ est 111 et l'objectif est 000.
1. Le premier anneau est dégagé : 111 devient 011.
2. Le troisième anneau peut alors être dégagé : 011 devient 010.
3. Le premier anneau est remis : 010 devient 110.
4. Le deuxième anneau est dégagé : 110 devient 100.
5. Le premier anneau est enfin dégagé : 100 devient 000.
2. Le troisième anneau peut alors être dégagé : 011 devient 010.
3. Le premier anneau est remis : 010 devient 110.
4. Le deuxième anneau est dégagé : 110 devient 100.
5. Le premier anneau est enfin dégagé : 100 devient 000.
La résolution demande donc cinq mouvements dans ce modèle à trois anneaux. Le contrôle est immédiat : deux états consécutifs diffèrent toujours par un seul chiffre, et l'état final contient trois zéros. Le retour de 0 à 1 au troisième geste n'est pas un recul inutile ; il rend possible le dégagement de l'anneau suivant.
En pratique
Pour résoudre le casse-tête, il est utile de noter l'état des anneaux après chaque geste. Cette trace est préférable à une manipulation au hasard dès que l'on revient souvent à une position déjà rencontrée.
Pour contrôler une proposition de solution, on compare chaque paire d'états successifs. Si plus d'un chiffre change à la fois, la proposition ne décrit pas une suite de gestes élémentaires. Il faut alors revenir au premier passage fautif.
Pour remettre les anneaux en place, on peut relire une suite valide en sens inverse. Cette méthode est préférable à une nouvelle recherche lorsque le mécanisme autorise bien le mouvement inverse à chaque étape.
À ne pas confondre
Le baguenaudier n'est pas un simple code binaire. Une suite de 0 et de 1 décrit la position des anneaux, mais le mécanisme décide quels changements sont réalisables. Ainsi, deux états qui diffèrent d'un seul chiffre ne sont pas nécessairement reliés par un geste autorisé.
Il ne se réduit pas non plus à un désenchevêtrement libre. Dans un enchevêtrement que l'on peut défaire par plusieurs gestes indépendants, leur ordre peut être indifférent. Dans le baguenaudier, devoir remettre le premier anneau avant de dégager le deuxième montre que les mouvements dépendent les uns des autres.
Limites et pièges
Le codage 0-1 ne suffit pas à prouver qu'une suite est réalisable. Le symptôme du piège est une transition qui change un seul chiffre mais que la disposition des anneaux bloque. Il faut vérifier chaque transition sur la règle mécanique du modèle utilisé.
La numérotation des anneaux est une convention. Si l'on commence à l'autre extrémité, la même position reçoit une écriture renversée. Il faut donc annoncer le sens de numérotation avant de comparer deux solutions.
Une suite qui atteint 000 est une solution, mais elle n'est pas automatiquement la plus courte. Pour revendiquer un minimum, il faut exclure toutes les suites légales plus brèves, et pas seulement compter les gestes d'un essai réussi.
Pour aller plus loin
Le prolongement naturel consiste à étudier le graphe des états : chaque écriture binaire représente une position, et une liaison relie deux positions lorsqu'un mouvement légal permet de passer de l'une à l'autre. Résoudre le baguenaudier revient alors à chercher un chemin entre l'état initial et l'état final.
Cette lecture sépare deux questions. Le codage indique quelles positions on sait nommer ; la règle du casse-tête indique quelles liaisons existent réellement. Comparer le nombre de chemins, leur longueur et les retours qu'ils imposent ouvre sur l'étude algorithmique du puzzle, sans confondre état binaire et mouvement autorisé.
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