AlgèbreNotion · Glossaire
Ortega Juan de
Juan de Ortega (1480-1568), mathematicien espagnol, religieux dominicain, a enseigne l'arithmetique commerciale en Aragon et voyage en Italie. Il publie en 1512 un traite d'arithmetique et de geometrie : la premiere partie traite des calculs commerciaux (conversions d'unites et de monnaies), la seconde presente une methode originale de calcul des racines carrees, proche des equations de Pell-Fermat.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Juan de Ortega entre 1480 et 1568, en Aragon et en Italie.
- Distinguer les deux parties de son traité publié en 1512.
- Vérifier sur 7² − 2 × 5² = −1 le lien avec l'approximation de √2.
- Comprendre pourquoi proximité avec Pell-Fermat ne signifie ni identité ni attribution.
En clair
En 1512, Juan de Ortega publie un traité qui accompagne deux gestes de calcul très concrets. Le marchand doit convertir une monnaie ou une unité avant de conclure une affaire. Le calculateur cherche aussi un nombre dont le carré approche une quantité donnée.
Ce dominicain espagnol relie ainsi les besoins commerciaux de son époque à une recherche arithmétique sur les racines carrées. Son parcours passe par l'enseignement en Aragon et par l'Italie.
Définition
Juan de Ortega est un mathématicien espagnol et un religieux dominicain, né en 1480 et mort en 1568. Il enseigne l'arithmétique commerciale en Aragon et voyage en Italie. Ces éléments situent son activité entre enseignement, pratique du calcul et circulation des savoirs mathématiques.
Son traité d'arithmétique et de géométrie, publié en 1512, comprend deux parties décrites par la source. La première porte sur les calculs commerciaux, notamment les conversions d'unités et de monnaies. La seconde présente une méthode originale de calcul des racines carrées.
Cette méthode est dite proche des équations de Pell-Fermat. Le rapprochement porte sur la recherche arithmétique d'entiers donnant de bonnes approximations d'une racine carrée ; il ne suffit pas à identifier la méthode d'Ortega à l'équation moderne ni à lui attribuer celle-ci.
Un exemple, pas à pas
Voici une illustration du lien avec les équations de Pell-Fermat, et non une reconstitution de la procédure historique d'Ortega. Les données sont le nombre 2, dont on approche la racine carrée, et les deux entiers 7 et 5.
1. On calcule les carrés des deux entiers : 7² = 49 et 5² = 25.
2. On double le second carré : 2 × 25 = 50. La relation obtenue s'écrit .
3. Puisque 49 est très proche de 50, le quotient 7/5 fournit une approximation de la racine carrée de 2 : 7/5 = 1,4.
4. Le contrôle consiste à élever 1,4 au carré : 1,4² = 1,96. L'écart avec 2 vaut 2 − 1,96 = 0,04.
Le résultat contrôlé est donc √2 ≈ 1,4. L'égalité exacte concerne la relation entre les entiers ; la valeur décimale reste une approximation de la racine.
En pratique
Pour lire le traité de 1512, on sépare d'abord ses deux objets. Une conversion de monnaie ou d'unité relève de la première partie ; une extraction de racine carrée relève de la seconde.
Pour étudier l'arithmétique commerciale, on suit les quantités converties et le rapport employé. Si le problème ne comporte aucune conversion commerciale, l'étude de la seconde partie est plus pertinente.
Pour examiner le rapprochement avec Pell-Fermat, on vérifie une relation entière puis on contrôle l'approximation obtenue par mise au carré. Si l'on cherche la procédure exacte d'Ortega, cette illustration moderne ne remplace pas l'étude du traité.
À ne pas confondre
Juan de Ortega et l'équation de Pell-Fermat. Le premier est un mathématicien espagnol ayant publié un traité en 1512 ; la seconde est une famille d'équations en nombres entiers. Le critère est donc la nature de l'objet : une biographie d'un côté, une relation arithmétique de l'autre. La méthode d'Ortega est seulement décrite comme proche de ces équations.
Limites et pièges
Une proximité n'est pas une identité. Retrouver une relation du type Pell-Fermat éclaire le calcul des racines, mais ne prouve pas que la méthode historique d'Ortega est exactement cette équation. Il faut revenir au traité pour établir la procédure et son vocabulaire.
Une approximation n'est pas une égalité. Dans l'exemple, 7/5 = 1,4 exactement, tandis que √2 ≈ 1,4. Le contrôle 1,4² = 1,96 rend visible un écart de 0,04 avec 2.
Les dates ne sont pas interchangeables. Les années 1480 et 1568 bornent la vie d'Ortega ; 1512 date la publication du traité. La source ne date séparément ni son enseignement en Aragon ni son voyage en Italie.
Pour aller plus loin
arithmétique — Situer les opérations et les nombres au cœur du travail d'Ortega.
équation de Pell-Fermat — Approfondir la relation entière à laquelle la méthode de racines carrées est rapprochée.
Les bâtons de Napier — Découvrir un autre dispositif historique de calcul, également lié aux racines carrées.
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