Une condition nécessaire pour que deux polygones acceptent une même décomposition polygonale – nous dirons qu’ils sont équidécomposables – est, bien évidemment, qu’ils aient la même surface. On les dira équivalents (voir encadré). Mais construire un polygone nécessite aussi de déplacer les pièces le constituant. Ceci peut paraître anodin, mais les déplacements sont des opérations caractéristiques d’une géométrie. Nous nous cantonnerons à la géométrie euclidienne qui repose sur le groupe des similitudes, composé de translations, homothéties et rotations. Les isométries que nous prendrons en compte sont les translations et rotations, en excluant donc les symétries axiales car elles nécessitent un retournement, c’est-à-dire de passer dans la troisième dimension en quittant le plan.
Une paternité partagée --------------------------
La réciproque, « deux polygones équivalents sont équidécomposables », est l’énoncé d’un théorème attribué à plusieurs auteurs. Il semble que Farkas Bolyai (1775-1856), le père de János (le découvreur d’un « nouveau monde », la géométrie hyperbolique), ait le premier posé le problème en 1790. Il aurait été démontré par John Lowry (1769-1850) en 1814, William Wallace (1768-1843) en 1831, Bolyai lui-même en 1832 et Paul Gerwien (1799-1858) en 1833. Mais, comme on ne trouve facilement des publications que des deux derniers cités, ce théorème est le plus fréquemment appelé théorème de Bolyai, ou de Bolyai-Gerwien.
Ainsi, en considérant deux polygones de même aire, on peut toujours trouver un découpage polygonal qui permet de reconstituer le premier à partir du second et inversement.