Équation aux différences

Imaginez une quantité relevée à intervalles réguliers : le nombre d’objets en stock chaque soir, par exemple. Une règle indique la valeur du lendemain à partir de celle d’aujourd’hui. Cette règle reliant plusieurs rangs de la liste forme une équation aux différences.

À partir d’une valeur initiale, on calcule les suivantes pas à pas. On peut aussi chercher si une seule suite respecte la règle et savoir si ses valeurs se stabilisent, oscillent ou s’éloignent indéfiniment.

Une équation aux différences impose une relation entre plusieurs termes d’une suite. L’indice entier n repère le rang, et le terme de rang n se note u_n. L’ordre correspond au plus grand écart d’indice nécessaire pour appliquer la relation. Une équation du premier ordre relie notamment u_n+1 à u_n.

Lorsque la relation permet d’écrire $u_{n+1}=F(n,u_n)u\_\{n+1\}=F(n,u\_n)$, une valeur initiale u₀ dans le domaine de la fonction F détermine les termes successifs tant que chaque calcul reste défini. Cette forme explicite assure alors l’unicité de la suite pour cette donnée initiale. Une relation implicite peut, au contraire, ne donner aucune valeur suivante ou en autoriser plusieurs.

Dans le cas linéaire à coefficients constants du premier ordre, deux constantes a et b fixent la règle $u_{n+1}=a{u}_n+bu\_\{n+1\}=a\; u\_n+b$. Si a est différent de 1, la valeur d’équilibre est le nombre L défini par $L=\frac{b}{1-a}L=\backslash frac\{b\}\{1-a\}$. La formule fermée est alors $u_n=L+(u_0-L)a^{n}u\_n=L+(u\_0-L)a^n$. Le comportement asymptotique dépend de a : la suite converge vers L lorsque la valeur absolue de a est strictement inférieure à 1.

Une équation aux différences explicite met en jeu une suite inconnue, des indices entiers qui ordonnent ses termes et une relation fonctionnelle reliant des indices distincts. Pour déterminer une solution particulière, on ajoute des données initiales fournissant assez de premiers termes pour amorcer le calcul. Pour une relation explicite d’ordre un, une seule valeur initiale suffit généralement.

La relation dépend directement des indices qu’elle mobilise : ajouter u_n−1 à une règle reliant déjà u_n+1 et u_n change son ordre et exige normalement une donnée initiale supplémentaire. Les coefficients commandent l’évolution, tandis que les valeurs initiales sélectionnent une solution particulière parmi toutes les suites compatibles. Ces données suffisent à construire les termes successifs lorsque la règle fournit à chaque étape une valeur définie et unique.

On étudie une suite dont le terme initial vaut u₀ = 2. À chaque rang, le terme suivant est la moitié du terme courant, augmentée de 3. Les données sont donc le coefficient 0,5, l’ajout 3 et la valeur initiale 2.

1. La relation s’écrit $u_{n+1}=\mathrm{0,5}{u}_n+3u\_\{n+1\}=0\{,\}5u\_n+3$. Au premier pas, u₁ = 0,5 × 2 + 3 = 4.

2. Le même calcul donne u₂ = 0,5 × 4 + 3 = 5, puis u₃ = 0,5 × 5 + 3 = 5,5 et u₄ = 5,75. Les points du graphique matérialisent ce rapprochement progressif.

3. Une valeur d’équilibre ne change pas après application de la règle. Le nombre L doit donc vérifier L = 0,5L + 3, d’où L = 6.

4. La formule $u_n=6-4{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n}u\_n=6-4\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)^n$ donne la solution. Pour contrôler, n = 0 redonne 2 et n = 4 donne 5,75. Comme la puissance de 1/2 tend vers 0, la suite tend vers 6.

Pour produire quelques valeurs, on part des données initiales et on applique la relation rang après rang. Cette itération est préférable à une formule fermée lorsque seuls les premiers termes sont utiles ou qu’aucune expression directe n’est disponible.

Pour étudier une évolution à long terme, on recherche d’abord les valeurs d’équilibre, puis on examine l’écart à ces valeurs. Dans l’exemple, soustraire 6 transforme la règle en un écart divisé par deux à chaque pas.

Pour une équation linéaire à coefficients constants plus élaborée, la résolution algébrique ou la transformée en Z peut remplacer l’itération. Le choix dépend de l’objectif : calculer un nombre fini de termes, obtenir une formule générale ou décrire le comportement asymptotique.

Équation différentielle. Elle relie une fonction continue et ses dérivées, tandis qu’une équation aux différences relie des termes indexés par des entiers. Une évolution décrite de rang n à rang n + 1 relève du cadre discret ; une évolution exprimée par une dérivée relève du cadre différentiel.

Raisonnement par récurrence. Une équation de récurrence définit ou contraint une suite. Le raisonnement par récurrence est une méthode de preuve portant sur tous les entiers. Calculer u_n+1 à partir de u_n utilise la relation ; démontrer que la formule obtenue vaut pour tout n peut ensuite employer une preuve par récurrence.

Relation implicite. Une écriture reliant u_n+1 et u_n ne garantit pas qu’un terme suivant existe ni qu’il soit unique. Il faut résoudre la relation à chaque rang et vérifier combien de valeurs admissibles elle fournit.

Valeur initiale hors domaine. Si la règle comporte une opération non définie pour le terme obtenu, l’itération s’arrête. Il faut préciser le domaine et contrôler que chaque terme y demeure, au lieu de prolonger formellement le calcul.

Seuil de convergence. Pour la règle affine à coefficient a, la condition |a| < 1 assure la convergence vers l’équilibre. Au cas charnière a = 1, la formule de l’équilibre avec un dénominateur 1 − a n’est pas définie ; la suite ajoute alors b à chaque pas.

Équilibre et trajectoire. Trouver L ne prouve pas à lui seul que toutes les solutions s’en approchent. Lorsque |a| > 1, l’écart au rang n à L est l’écart initial multiplié par aⁿ et croît en valeur absolue si u₀ ≠ L ; seule la donnée initiale exactement égale à L produit la suite constante.

Équations linéaires et suites récurrentes ne font qu'un ! prolonge le lien entre relations linéaires et suites définies de proche en proche.

La fiche Transformée en Z présente un autre outil pour traiter les équations aux différences linéaires et leurs suites.

La fiche Différentielle éclaire le vocabulaire du cadre continu auquel l’équation aux différences est comparée.