Ibn Mun'im

À Marrakech, avant sa mort en 1228, Ibn Munʿim étudie notamment une question liée à la langue arabe : combien de mots peut-on former avec des lettres données ? Changer leur ordre ne produit pas la même suite ; en choisir seulement certaines ouvre encore d'autres possibilités.

Ce geste de classement conduit aux permutations et aux combinaisons. Le Fiqh al-ḥisāb, seul de ses traités conservé, en donne les premiers travaux connus dans la tradition mathématique arabe.

Aḥmad ibn Ibrāhīm ibn ʿAlī ibn Munʿim al-ʿAbdarī est un mathématicien originaire d'Andalousie, établi à Marrakech et mort en 1228. Reconnu de son temps en géométrie et en théorie des nombres, il est aujourd'hui notamment associé à l'histoire de la combinatoire dans la tradition mathématique arabe.

Son ouvrage conservé, le Fiqh al-ḥisāb ou La science du calcul, relie le calcul à l'énumération des mots que peuvent former les lettres de l'alphabet arabe. Une permutation compte les ordres possibles lorsque tous les éléments considérés sont utilisés. Une combinaison compte des choix sans distinguer leur ordre. Ces deux opérations répondent donc à des questions différentes, même lorsqu'elles partent du même ensemble de lettres.

Plusieurs autres traités lui sont attribués sur les carrés magiques, la géométrie et la science du calcul, mais ils n'ont pas survécu jusqu'à nous. La portée historique doit donc être formulée avec précision : le Fiqh al-ḥisāb contient les premiers travaux connus de combinatoire dans cette tradition, et non les premiers raisonnements combinatoires de toute l'histoire.

Prenons trois lettres distinctes, A, B et C. Les données sont les trois lettres disponibles, l'emploi de chacune une seule fois et la prise en compte de l'ordre.

1. Plaçons A en premier : les deux ordres restants donnent ABC et ACB.
2. Plaçons B en premier : on obtient BAC et BCA.
3. Plaçons C en premier : on obtient CAB et CBA.
4. Les six suites sont différentes. La notation 3!, lue « trois factorielle », désigne ici le produit exact suivant :

Si l'on choisit seulement deux lettres sans tenir compte de leur ordre, AB et BA représentent le même choix. Les combinaisons sont alors AB, AC et BC. La notation binomiale « deux parmi trois » donne leur nombre exact :Le contrôle consiste à ordonner chaque paire dans les deux sens : AB et BA, AC et CA, BC et CB. Les trois choix donnent ainsi six suites ordonnées de deux lettres, sans oubli ni doublon.

Pour former des suites avec A, B et C, on utilise une permutation lorsque l'ordre compte. Le critère observable est qu'ABC et BAC occupent deux places distinctes dans l'inventaire.

Pour choisir deux lettres parmi les trois sans privilégier leur ordre, on utilise une combinaison. Le bon test consiste à demander si inverser les lettres crée vraiment un nouveau choix : AB et BA n'en créent pas deux.

Dans un problème d'énumération de mots, il faut d'abord fixer les règles : toutes les lettres sont-elles utilisées, peuvent-elles se répéter et l'ordre distingue-t-il deux résultats ? Ces choix déterminent le dénombrement pertinent.

Une permutation n'est pas une combinaison. Avec A, B et C, ABC et BAC sont deux permutations distinctes, car l'ordre change. Pour choisir les deux lettres A et B, AB et BA désignent au contraire une seule combinaison, car seul le choix compte.

Les travaux combinatoires conservés d'Ibn Munʿim ne se confondent pas avec tous les traités qui lui sont attribués. Le critère est documentaire : seul le Fiqh al-ḥisāb a survécu, tandis que les écrits attribués sur les carrés magiques ou la géométrie ne sont pas conservés.

L'expression « premiers travaux connus » dépend des textes conservés et identifiés. Elle ne prouve pas qu'aucun calcul comparable n'a existé auparavant. Il faut donc conserver le mot connus et limiter l'attribution à la tradition mathématique arabe mentionnée par la source.

Le calcul de six permutations suppose trois lettres distinctes, toutes employées une fois. Si une lettre se répète ou si certaines lettres peuvent être omises, le symptôme est l'apparition de suites identiques ou de longueurs différentes. Il faut alors reformuler les règles avant de compter.

Attribuer plusieurs traités à Ibn Munʿim ne signifie pas que leur contenu soit directement vérifiable aujourd'hui. La disparition de ces ouvrages impose de distinguer l'attribution documentaire de ce que le seul texte survivant permet effectivement d'étudier.

Le glossaire du dénombrement précise les principes permettant de compter des possibilités sans omission ni double comptage.

Le triangle de Pascal prolonge l'étude des combinaisons en organisant leurs nombres dans une structure régulière.

La fiche sur le carré magique éclaire un autre domaine auquel des traités attribués à Ibn Munʿim se rattachaient.