multiplication de Descartes

Sur deux demi-droites issues d’un même point, on reporte une unité et deux longueurs qui représentent les nombres à multiplier. Une droite auxiliaire et sa parallèle agrandissent alors un triangle dans la même proportion. La longueur obtenue porte le produit.

Avec des facteurs 2 et 1,5, le second triangle est deux fois plus grand que le premier. Le segment correspondant à 1,5 mesure donc 3 unités. Le dessin réalise ainsi 2 × 1,5 = 3.

La multiplication de Descartes est une construction à la règle et au compas qui représente le produit de deux nombres par une longueur. Elle exige d’abord une longueur unité. Depuis un point O, on trace deux demi-droites distinctes. Sur la première, le point U vérifie OU = 1 unité et le point A représente le premier facteur. Sur la seconde, le point B représente le second facteur.

On trace la droite (UB), puis sa parallèle passant par A. Elle coupe la seconde demi-droite en P. Les triangles OUB et OAP sont semblables. Le théorème de Thalès donne $\frac{OP}{OB}=\frac{OA}{OU}\backslash frac\{OP\}\{OB\}=\backslash frac\{OA\}\{OU\}$. Comme OU vaut une unité, la mesure de OP dans cette unité est le produit des mesures de OA et OB.

La formulation concerne directement des nombres non négatifs représentés par des longueurs. Elle ne transforme pas physiquement deux longueurs en une aire : le choix de l’unité convertit les longueurs en nombres, puis le résultat est de nouveau porté par un segment.

On rencontre cette multiplication sur une figure de géométrie plutôt que dans une colonne de calcul. Quatre marqueurs la rendent reconnaissable : deux demi-droites de même origine, un segment choisi comme unité, une droite joignant les deux branches et une parallèle passant par le point du premier facteur. L’intersection obtenue sur la seconde branche porte le résultat. Cette traduction d’une opération arithmétique en construction illustre le rapprochement entre nombres et géométrie associé à la géométrie analytique naissante.

La grandeur à lire est la mesure de OP dans l’unité OU. 1. Repérez l’origine commune O et vérifiez que OU est bien le segment unité. 2. Lisez le premier facteur sur OA et le second sur OB. 3. Vérifiez que AP est parallèle à UB. 4. Lisez enfin OP sur la seconde demi-droite.

Une figure plus grande à l’écran ou sur le papier peut faire croire que le produit a changé. Seules les proportions comptent : si toute la figure est agrandie uniformément, OU change avec les autres segments et les mesures numériques restent identiques. Le bon réflexe consiste donc à comparer OP à OU, non à mesurer OP isolément dans une unité extérieure au dessin.

On veut représenter le produit de 2 par 1,5. Les données sont l’origine O, le segment unité OU, le segment OA de 2 unités et le segment OB de 1,5 unité. La figure associée rend visibles les deux triangles utilisés pour le contrôle.

1. Tracez deux demi-droites distinctes issues de O.
2. Placez U et A sur la première avec OU = 1 unité et OA = 2 unités.
3. Placez B sur la seconde avec OB = 1,5 unité.
4. Tracez UB, puis la parallèle à UB passant par A ; elle rencontre la seconde demi-droite en P.

Le rapport d’agrandissement vaut OA ÷ OU = 2. Le segment correspondant à OB mesure donc OP = 2 × 1,5 = 3 unités. Pour contrôler le résultat sans refaire la multiplication, mesurez dans la même unité : OA doit être deux fois OU et OP deux fois OB.

Dans une activité de géométrie, la construction matérialise une multiplication par un agrandissement de triangles. Un calcul numérique ordinaire reste préférable lorsque seul le résultat chiffré est recherché.

Pour vérifier une figure, on contrôle l’unité, les deux longueurs données et le parallélisme. Si la parallèle manque, la longueur finale ne traduit plus nécessairement le produit.

En histoire des mathématiques, ce procédé montre une opération arithmétique traitée par la règle, le compas et le théorème de Thalès. Il est plus parlant qu’une simple formule lorsque l’objet étudié est précisément le passage des nombres à la géométrie.

Avec une multiplication numérique posée. Les deux procédés donnent le même nombre, mais le critère distinctif est le moyen employé : ici, le résultat se lit comme le quatrième terme d’une proportion géométrique. Pour 2 × 1,5, la construction produit un segment de 3 unités au lieu d’enchaîner des chiffres.

Avec l’aire d’un rectangle. Une aire de côtés 2 unités et 1,5 unité vaut 3 unités carrées. Dans la multiplication de Descartes, le résultat est au contraire un segment de 3 unités, car les facteurs sont d’abord leurs mesures rapportées à OU.

Avec le théorème de Thalès lui-même. Thalès est la relation de proportionnalité qui justifie la construction. La multiplication de Descartes est l’usage particulier de cette relation pour fabriquer un produit.

Unité omise ou changée. Sans segment unité identifié, OA et OB ne déterminent pas un produit numérique lisible. La relation exacte est $OP=\frac{OAOB}{OU}OP=\backslash frac\{OA\backslash ,OB\}\{OU\}$ pour les longueurs de la figure. Il faut donc fixer OU avant de placer les facteurs.

Demi-droites confondues. Si l’angle entre les deux supports vaut 0°, l’intersection destinée à définir P peut ne plus être unique. Il faut choisir deux demi-droites distinctes ; un angle très petit reste théoriquement valable, mais rend le tracé et la lecture imprécis.

Facteur nul. Si A ou B se confond avec O, le triangle correspondant est dégénéré et la preuve par rapports de triangles semblables ne s’applique plus telle quelle. La construction donne néanmoins P = O, donc une longueur résultat nulle ; ce cas se vérifie séparément.

Nombres négatifs. Une longueur ordinaire ne porte pas de signe. Pour étendre le procédé aux nombres négatifs, il faut adopter des longueurs orientées sur des droites et une convention de signe ; la construction sur deux demi-droites représente directement les facteurs non négatifs.

Le glossaire théorème de Thalès précise la proportion qui garantit que le segment construit porte bien le produit.

L’article Le roi de la géométrie : le théorème de Thalès replace cette relation dans un parcours géométrique plus large.