Saperi
Articoli di approfondimento sulle conoscenze e teorie matematiche
La molteplicità degli infiniti
L’infinito attuale è una finzione matematica utile tanto nei calcoli quanto nelle dimostrazioni. Lo si può rifiutare e accontentarsi dell’infinito potenziale. Ma, se si ammette la nozione di infinito, essa è necessariamente molteplice. Georg Cantor, ancora una volta, lo dimostrò!
Che cosa sono gli assiomi? — Geometria | Tangente
In matematica, tutte le dimostrazioni partono da premesse ritenute vere. Quale forma particolare assumono per diventare gli assiomi, alla base di tutte le nostre teorie attuali?
Costruire i numeri, una storia di lunga durata
In principio era il numero... Risalendo alle origini, questi oggetti erano rappresentati da ciottoli prima di essere codificati mediante simboli. Di numeri ce n’è davvero per tutti i gusti! È noto: quando si ama, non si conta...
Sfolgoranti relazioni binarie
Gli uomini nascono liberi e uguali nei diritti. Eppure Coluche poteva aggiungere, non senza malizia, che «alcuni sono più uguali degli altri»! Definire un ordine o un’«uguaglianza» in un certo senso richiede di delimitare bene che cosa designino tali concetti.
Il nome degli elementi di un insieme
Come afferma David Hilbert in una frase divenuta celebre, attribuire un nome a un oggetto matematico è artificiale. Invece, identificare un oggetto con la sua immagine mediante una biiezione, in modo da metterne in risalto le proprietà, può essere decisivo.
Relazioni e applicazioni: strutturare gli insiemi
La definizione di una nozione di relazione tra insiemi è indispensabile per poter cominciare a fare matematica. Questo concetto di relazione, al centro dei fondamenti della matematica, comprende come caso particolare quello di applicazione e permette di dotare gli insiemi di strutture.
I diagrammi a patata, un’idea che fa faville
Quando si considerano più sottoinsiemi di uno stesso insieme, può essere difficile individuarne bene le diverse intersezioni. Rappresentare questi sottoinsiemi con delle «patate» permette spesso di vederci più chiaro e di non fare la figura degli ingenui davanti a domande più semplici di quanto sembrino.
L’insieme e le sue parti
Le operazioni elementari sugli insiemi comprendono l’inclusione, l’unione, l’intersezione, la differenza simmetrica… Anche la nozione di insieme delle parti è naturale e feconda. Come descrivere, contare e strutturare l’insieme delle parti?
Dalla collezione di oggetti all’insieme
Un insieme può essere definito per estensione o per comprensione. Costruire i numeri interi diventa allora un esercizio facile, ma formativo. Attenzione però all’apparente semplicità della nozione di insieme, inteso come una semplice collezione di oggetti: i paradossi sono in agguato...
Un approccio alla matematica che sconvolge | Tangente
La teoria degli insiemi, iconoclasta agli inizi con Cantor, è diventata universale. Non si vedeva nulla di simile dai tempi di Euclide: fornisce un fondamento alla matematica! Questo fondamento sembra solido, finché non compaiono i paradossi. Che cos’è dunque questa costruzione matematica così controversa?
L’assioma della scelta
Poter scegliere un elemento in un insieme sembra naturale. Eppure, lo è davvero soltanto se l’insieme è finito. Al di là di questo caso, per poter scegliere serve un assioma! Alcune conseguenze di questo assioma sono sorprendenti: allora, bisogna accettarlo?
Aderite ai gruppi!
Nata nell’ambito della risoluzione delle equazioni nel XIX secolo e divenuta ben presto imprescindibile, la nozione di gruppo ha permesso di mettere in luce analogie tra situazioni a priori molto diverse. Cerchiamo di capire perché i matematici hanno spirito di gruppo.
Georg Cantor: dal finito all’infinito
Per estendere agli insiemi infiniti risultati pratici sugli insiemi finiti, Cantor ha definito l’uguaglianza delle cardinalità attraverso la nozione di biezione e, di conseguenza, la disuguaglianza attraverso quelle di iniezione e suriezione. Sorprendentemente, si ottiene una relazione d’ordine.
E se fosse falso?
Il teorema di Pitagora è davvero vero? La domanda può sembrare strana, ma tutto dipende in realtà dal contesto in cui si vuole applicare questo risultato geometrico.
Pitagora senza parole: dimostrazioni visive | Tangente
Quanti studenti sono in grado di dimostrare il teorema di Pitagora? Eppure, non mancano certo le dimostrazioni.
Le terne pitagoriche
In un triangolo rettangolo, il quadrato dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti. Quando questa relazione è verificata da tre numeri interi, si parla di terne pitagoriche. Quali sono questi numeri e come si possono caratterizzare?
Le dimostrazioni del teorema di Pitagora attraverso i secoli
Il teorema di Pitagora riguarda i quadrati costruiti sui lati di un triangolo rettangolo. Quei quadrati divennero poi aritmetici, prima che il teorema si avventurasse in spazi astratti. Pitagora riconoscerebbe il suo teorema se risorgesse ai nostri giorni?
Pitagora, molto più di un teorema
Pitagora non è soltanto un celebre teorema: è un intero edificio filosofico che influenzerà, oltre alla matematica e all’astronomia, persino la musica. Al di là delle scienze, la storia non ha dunque ancora chiuso i conti con il «Samio dai lunghi capelli»!
Piccoli classici dei paradossi
Lo studio dei paradossi è divertente e non richiede conoscenze particolari. Ci permette di cogliere meglio i concetti di razionalità, verità, probabilità, incertezza, informazione… e le loro molteplici teorizzazioni. Lasciatevi sorprendere da alcuni classici spettacolari.
Deus ex machina: anche in matematica!
Cercate una soluzione semplice e inattesa a un problema difficile? Un deus ex machina talvolta permette di sciogliere all’improvviso una situazione matematica disperata. Combinatoria, aritmetica e geometria sono terreni fertili per la comparsa di un simile «aha!».