Saperi
Articoli di approfondimento sulle conoscenze e teorie matematiche
Le percentuali, nel bene e nel male
Fin dall’antichità si confrontano i dati rapportando un totale a 100. L’introduzione delle cifre arabe ha attribuito alle percentuali un ruolo importante, offrendo una visione chiara e rapida di molti dati statistici… a condizione di averne compreso il meccanismo e di saper fare i conti!
Il problema «a lieto fine»
Nel 1933, la matematica ungherese Eszter Klein propose a un gruppo di giovani colleghi un problema di geometria apparentemente elementare. Ne sarebbero nati un nuovo settore della matematica, la geometria discreta, e... un matrimonio.
Stabilità del Sistema solare: il teorema KAM | Tangente
Jürgen Moser appartiene alla lunga schiera di matematici che hanno affrontato il problema della stabilità del Sistema solare. È la «M» della trinità del teorema KAM (Kolmogorov, Arnold e Moser), che unisce la teoria dei numeri e la meccanica celeste.
Approssimare una funzione e seguirne la curva
Supponendo che una funzione sia un polinomio, si ottengono interessanti formule approssimate. Si può così sostituire una funzione complicata con un polinomio, semplificando la maggior parte dei calcoli. Più sorprendentemente, l’interpolazione è alla base di una tecnica di condivisione dei segreti.
Impilamento di sfere:
Viviamo un’epoca straordinaria! Non passa mese senza una nuova scoperta matematica. L’ultima? Il problema dell’impilamento ottimale di sfere identiche è stato risolto, da una giovane ricercatrice, per le dimensioni 8 e 24.
Tra algebra e analisi: un universo imprescindibile
I polinomi rientrano tanto nell’algebra quanto nell’analisi, e questo può dar luogo a molte confusioni! Grazie a questa ambivalenza, è possibile spiegare in modo semplice le sottili differenze tra variabili, incognite e indeterminate.
Cumuli di sabbia: geometria e scheletro | Tangente
Ci sono mille modi per non abbronzarsi da stupidi in spiaggia. Scartiamo quelli, non poi così stupidi, che consistono nel non abbronzarsi affatto. Prendiamo invece in prestito secchiello, paletta e setaccio dal nostro nipotino e lanciamoci nella grande avventura geometrica dei cumuli di sabbia!
Tutta la luce sulle ombre: matematica e visione | Tangente
All’inizio dell’estate, quando fa molto caldo, tutti cerchiamo un angolino al riparo dal sole. Non dimentichiamo che il disegno delle ombre è all’origine della prospettiva! Vedere l’ombra di un oggetto significa già, in qualche misura, riconoscerlo e quindi saperlo disegnare in 3D.
Affascinanti numeri primi
Panoramica degli ultimi teoremi sui numeri primi, che continuano a suscitare grande interesse
L’inesauribile teorema dei numeri primi
I numeri primi sono una fonte inesauribile di sorprese matematiche: sono infiniti ma rari e, quando si vuole contarli, compaiono funzioni trascendenti, come la funzione zeta di Riemann, a priori molto lontane dall’aritmetica.
Risolvere equazioni: il teorema di Rolle in soccorso
Il teorema degli incrementi finiti garantisce che problemi molto concreti di capitalizzazione abbiano effettivamente una soluzione e che, seguendo le equazioni di evoluzione standard, si giunga proprio a tale soluzione. Un sogno per ogni economista!
Rolle: teoremi a cascata!
Il teorema di Rolle, così come il celebre teorema degli incrementi finiti, è stato eliminato dai programmi della scuola secondaria. Eppure questi due importanti risultati dell’analisi non hanno soltanto un’importanza storica: permettono di risolvere molte questioni matematiche!
Heine e lo studio rigoroso delle funzioni continue | Tangente
Eduard Heine non figura tra i matematici più noti, benché il suo nome sia legato a un teorema sulla continuità uniforme delle funzioni continue su un intervallo.
La porzione congrua delle divisioni euclidee
Quando si considera la divisione euclidea di a per n, si ottiene un resto. I valori possibili di questo resto sono limitati: ce ne sono soltanto n. Ecco un nuovo punto di vista che permette di semplificare molti calcoli e di affrontare numerosi problemi da un’altra prospettiva!
Costruire una retta al computer
Che cosa c’è di più semplice che tracciare una retta che unisce due punti? Bastano un righello e una matita! Ma come si fa sullo schermo di un computer, come procedono i programmi di grafica? Si tratta di annerire alcuni punti dello schermo. Quali?
La retta proiettiva: una fruttuosa messa in prospettiva
La retta è la figura geometrica più semplice che esista. La varietà delle situazioni che si presentano in geometria sembra più complessa, eppure… non ci sarebbe un punto di vista particolare che permetta di considerare il piano come una retta? È proprio questo l’oggetto della geometria proiettiva!
Le rette negli spazi curvi: le geodetiche
Se ci si vincola a rimanere su una superficie, il cammino più breve da un punto a un altro si chiama geodetica. Questo concetto conduce «dritto» alle geometrie non euclidee e ad applicazioni nella navigazione e nella cartografia.
Tangenti e asintoti
Dalla «toccante» di ieri alla tangente di oggi, dalle «quantità evanescenti» agli asintoti, si dipana una lunga epopea matematica. Ecco alcuni episodi gloriosi di questa ricerca geometrica, che consiste nell’«approssimare la curva con una retta».
Inviluppi caustici
Delle rette la cui direzione varia con continuità possono lasciare intuire la curva di cui sarebbero tutte tangenti. Queste curve, inviluppi di famiglie di rette, compaiono in ottica come caustiche. Le loro proprietà generano metodi di costruzione geometrica.
Armoniosi fasci di rette
Come esprimere semplicemente il fatto che più rette siano concorrenti in uno stesso punto? Contrariamente alle apparenze, la geometria pura non è lo strumento più adatto! Introdurre un sistema di riferimento e qualche equazione può rivelarsi più utile.