Benford (loi de)

Parcourez une longue liste de valeurs issues du monde réel et ne gardez que le premier chiffre non nul de chacune. Dans beaucoup de telles listes, les valeurs commençant par 1 sont plus nombreuses que celles commençant par 9. La loi de Benford décrit ce déséquilibre : environ trois valeurs sur dix débutent par 1, contre environ une sur vingt par 9. Elle ne prédit pas chaque valeur ; elle décrit la répartition attendue des premiers chiffres dans un ensemble approprié.

La loi de Benford, aussi appelée loi du premier chiffre significatif, décrit la fréquence du premier chiffre non nul dans de nombreux ensembles de données numériques naturelles. Le premier chiffre significatif d'une valeur est le premier chiffre différent de zéro lu de gauche à droite : il vaut 3 pour 0,0037 comme pour 3 700.

Pour un premier chiffre noté d, où d est un entier de 1 à 9, la probabilité prévue est le logarithme décimal de 1 + 1/d. Cette distribution n'est pas uniforme : la probabilité décroît d'environ 30,1 % pour d = 1 à environ 4,6 % pour d = 9. Elle porte sur une répartition collective, non sur la valeur suivante d'une liste. Son usage en comptabilité forensique consiste à comparer des fréquences observées à ce profil afin de repérer des écarts qui méritent un examen.

Dans un ensemble de données auquel la loi de Benford est adaptée, notons d le premier chiffre significatif non nul, avec d compris entre 1 et 9. La probabilité que ce chiffre soit d est approximativement :

La figure représente les neuf probabilités données par cette formule. Leur décroissance explique pourquoi le chiffre 1 arrive beaucoup plus souvent en tête que le chiffre 9.

La comparaison a un sens pour une collection assez fournie de données numériques naturelles dont on observe le premier chiffre non nul. Les valeurs doivent pouvoir commencer par plusieurs chiffres différents ; la loi fournit alors neuf proportions théoriques auxquelles comparer les fréquences observées.

Une liste de numéros attribués, comme des identifiants séquentiels, n'est pas une collection de mesures naturelles. Une liste artificiellement limitée à l'intervalle de 8 à 12 ne peut pas davantage présenter l'ensemble du profil, puisque seuls 8, 9, 1 sont possibles en tête. Dans ces contre-cas, il faut étudier le mécanisme de production des nombres plutôt que comparer mécaniquement leurs premiers chiffres à Benford.

Considérons un registre fictif de 1 000 montants qui satisfait les conditions d'application. Nous voulons obtenir les effectifs théoriques de montants commençant par 1 et par 9. Les données sont donc un total de 1 000 valeurs et les chiffres d = 1 puis d = 9.

1. Pour d = 1, appliquons la formule : $P(D=1)={\log }_{10}(2)\approx \mathrm{0,3010}P(D=1)=\backslash log\_\{10\}(2)\backslash approx0\{,\}3010$.

2. Multiplions cette proportion par 1 000 : 1 000 × 0,3010 ≈ 301. On attend donc environ 301 montants dont le premier chiffre significatif est 1.

3. Pour d = 9, $P(D=9)={\log }_{10}(10\mathrm{/}9)\approx \mathrm{0,04576}P(D=9)=\backslash log\_\{10\}(10/9)\backslash approx0\{,\}04576$, puis 1 000 × 0,04576 ≈ 45,76. On attend environ 46 montants commençant par 9.

4. Contrôle : 301/1 000 = 30,1 % et 46/1 000 = 4,6 % après arrondi. Ces résultats retrouvent les ordres de grandeur annoncés, sans prétendre que le registre doit contenir exactement 301 et 46 cas.

En comptabilité forensique, on extrait le premier chiffre non nul de chaque montant, puis on compare les fréquences observées aux neuf probabilités de Benford. Un écart attire l'attention sur le sous-ensemble concerné ; il ne suffit pas, à lui seul, à établir une fraude.

Avant cette comparaison, on examine la provenance des nombres. Si les valeurs sont attribuées, plafonnées ou concentrées dans un intervalle étroit, une analyse adaptée à leur règle de production est préférable.

Pour communiquer le résultat, on présente les neuf fréquences observées avec les fréquences théoriques et la taille de l'échantillon. Le lecteur peut ainsi distinguer un simple écart de comptage d'une anomalie persistante.

Premier chiffre significatif et chiffre après la virgule. Le premier chiffre significatif est le premier chiffre non nul, quelle que soit la position de la virgule. Ainsi, 0,0042 et 42 ont tous deux 4 pour premier chiffre significatif.

Loi de Benford et répartition uniforme. Une répartition uniforme attribuerait la même probabilité, soit 1/9, à chacun des chiffres 1 à 9. Benford attribue environ 30,1 % au chiffre 1 et 4,6 % au chiffre 9 : le calcul d'une seule de ces probabilités tranche entre les deux modèles.

Échantillon trop petit. Dans le registre fictif de 1 000 montants, 4,6 % représente environ 46 cas commençant par 9. Avec seulement 20 montants, cette proportion ne représente même pas un cas entier attendu. Les fluctuations de comptage deviennent alors trop visibles pour lire chaque écart comme une anomalie.

Plage de valeurs tronquée. Si un règlement impose des montants entre 8 et 12, les premiers chiffres possibles sont mécaniquement restreints. Le symptôme est l'absence forcée de plusieurs chiffres ; il faut analyser la distribution sur cette plage, pas le profil de Benford.

Nombres attribués. Des numéros de facture séquentiels ou des identifiants ne mesurent pas une grandeur. Leur premier chiffre reflète la règle de numérotation ; cette règle, et non Benford, constitue le modèle de comparaison pertinent.

Écart pris pour une preuve. Une différence entre fréquences observées et théoriques signale une incompatibilité possible avec le modèle. Elle peut aussi venir du choix des données ou de leur mécanisme de production ; une enquête doit donc chercher une cause indépendante.

La fonction logarithme décimal permet de retrouver les neuf probabilités de Benford et de comprendre le rôle de la base 10 dans leur écriture.